Валле пуссена производная

обобщенная симметрическая производная; определена Ш. Балле Пуссеном [1]. Пусть г - четное и пусть существует [img: http://localhost:8080/file/010301-27.jpg] такое, что для всех [img: http://localhost:8080/file/010301-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010301-29.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010301-30.jpg] - постоянные, [img: http://localhost:8080/file/010301-31.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010301-32.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010301-33.jpg] Тогда число [img: http://localhost:8080/file/010301-34.jpg] наз. производной Балле Пуссена порядка r, иначе - симметрической производной порядка rфункции f в точке x0. Аналогично определяется В. П. п. нечетного порядка r с заменой равенства (*) на [img: http://localhost:8080/file/010301-35.jpg] В. П. п. [img: http://localhost:8080/file/010301-36.jpg] совпадает со второй производной Римана, к-рую часто наз. производной Шварца. Если существует [img: http://localhost:8080/file/010301-37.jpg], то существует и [img: http://localhost:8080/file/010301-38.jpg]; при этом [img: http://localhost:8080/file/010301-39.jpg] может не существовать. Если существует конечная обычная двусторонняя производная [img: http://localhost:8080/file/010301-40.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010301-41.jpg]. Для функции [img: http://localhost:8080/file/010301-42.jpg], напр., [img: http://localhost:8080/file/010301-43.jpg] и не существуют конечные [img: http://localhost:8080/file/010301-44.jpg] Если существует В. П. п. [img: http://localhost:8080/file/010301-45.jpg], то ряд [img: http://localhost:8080/file/010301-46.jpg], полученный из ряда Фурье функции f почленным дифференцированием r раз, суммируем в точке [img: http://localhost:8080/file/010301-47.jpg] методом [img: http://localhost:8080/file/010301-48.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010301-49.jpg] [2] (см. Чезаро методы суммирования).