Ван дер поля уравнение

нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010301-137.jpg] Является важным частным случаем Лъенара уравнения. В. д. П. у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математич. моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубич. характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (см. [1]). Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных [img: http://localhost:8080/file/010301-138.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010301-139.jpg] Иногда вместо [img: http://localhost:8080/file/010301-140.jpg] удобнее ввести переменную [img: http://localhost:8080/file/010301-141.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010301-142.jpg] тогда уравнение (1) приведется к уравнению [img: http://localhost:8080/file/010301-143.jpg] являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Если вместе с переменной храссмотреть переменную ввести новое время [img: http://localhost:8080/file/010301-144.jpg] и положить [img: http://localhost:8080/file/010301-145.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010301-146.jpg] вместо уравнения (1) получим систему [img: http://localhost:8080/file/010301-147.jpg] (3) При любом [img: http://localhost:8080/file/010301-148.jpg] в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к к-рому при [img: http://localhost:8080/file/010301-149.jpg] приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [2] - [4]). При малых m автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелинейные колебания).с периодом 2p и с определенной амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотич. методы. При возрастании m автоколебания осциллятора (1) все более отклоняются от гармонич. колебаний. При больших mуравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) [img: http://localhost:8080/file/010301-150.jpg]. Известны более точные асимптотич. разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. [5]); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром е при производной (см. [6]). Уравнение [img: http://localhost:8080/file/010301-151.jpg] описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодич. возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодич. колебаний) и исследование биении (возможности почти периодич. колебаний; см. [2], [4])..