Вариация

- термин, введенный в математику Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод В.- метод исследования.экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и назв. Вариационное исчисление). Пусть X - нек-рое пространство, на к-ром задан функционал [img: http://localhost:8080/file/010304-13.jpg], а V - пространство нек-рых параметров. Под вариацией аргумента [img: http://localhost:8080/file/010304-14.jpg] понимают обычно кривую [img: http://localhost:8080/file/010304-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-16.jpg] в пространстве X, проходящую через [img: http://localhost:8080/file/010304-17.jpg] в определенной близости от ограничений, причем [img: http://localhost:8080/file/010304-18.jpg] соответствует значение [img: http://localhost:8080/file/010304-19.jpg]. Когда [img: http://localhost:8080/file/010304-20.jpg] пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определенное семейство кривых, исходящих из точки х 0. В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяют вариации по направлениям, когда [img: http://localhost:8080/file/010304-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-22.jpg] В этом случае В. наз. вектор v. Однако в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяют и др. классы В., напр, ломаные В., игольчатые В., В., связанные со скользящими режимами (см. [2], [3]). Выбор пространства В. и построение самих В.- важнейший элемент при получении необходимых условий экстремума. См. такн?е Вариация функционала, Гато производная, Фреше производная, Функциональная производная.