Варинга проблема

- проблема теории чисел, сформулированная Э. Варингом (Е. Waring) в 1770 в следующем виде: всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней. Другими словами: для любого [img: http://localhost:8080/file/010304-238.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/010304-239.jpg], зависящее только от п, что любое натуральное число есть сумма А: п-х степеней неотрицательных целых чисел. Первое общее решение В. п. с очень грубой оценкой величины kв зависимости от пдано в 1909 Д. Гильбертом (D. Hilbert), в связи с чем В. п. иногда наз. проблемой Гильберта- Варннга. Если через [img: http://localhost:8080/file/010304-240.jpg] обозначить число решений в целых неотрицательных числах уравнения [img: http://localhost:8080/file/010304-241.jpg] то теорема Гильберта утверждает, что существует [img: http://localhost:8080/file/010304-242.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010304-243.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/010304-244.jpg]. В 1928 Г. X. Харди и Дж. И. Литлвуд (G. Н. Hardy, J. Е. Littlewood), применив к В. п. круговой метод, доказали, что при [img: http://localhost:8080/file/010304-245.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010304-246.jpg] имеет место асимптотич. формула вида [img: http://localhost:8080/file/010304-247.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010304-248.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010304-249.jpg] н [img: http://localhost:8080/file/010304-250.jpg] некоторые постоянные. Следовательно, при [img: http://localhost:8080/file/010304-251.jpg] уравнение (1) имеет решение. В связи с этим результатом возникли три проблемы: установить порядок трех величин [img: http://localhost:8080/file/010304-252.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010304-253.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-254.jpg] - наименьших целых чисел, для к-рых: а) уравнение (1) разрешимо при [img: http://localhost:8080/file/010304-255.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010304-256.jpg]; б) уравнение (1) разрешимо прп [img: http://localhost:8080/file/010304-257.jpg] н [img: http://localhost:8080/file/010304-258.jpg]; в) для величины [img: http://localhost:8080/file/010304-259.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010304-260.jpg] имеет место асимптотнч. формула (2). а) Известно, что [img: http://localhost:8080/file/010304-261.jpg]. В 1934 И. М. Виноградов прп помощи созданного им метода доказал, что [img: http://localhost:8080/file/010304-262.jpg]. Кроме того, имеется много результатов относительно G(n).для небольших значений п: [img: http://localhost:8080/file/010304-263.jpg] (X. Давенпорт, Н. Davenport, 1939), [img: http://localhost:8080/file/010304-264.jpg] (Ю. В. Линннк, 1942). б) В 1936 Л. Диксон н С. Пиллан (L. Dickson, S. Pillai), применив Виноградова метод, доказали, что [img: http://localhost:8080/file/010304-265.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010304-266.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010304-267.jpg] Последнее же условие доказано К. Малером (К. Mahler) в 1957 для всех достаточно больших п. в) Наилучший результат принадлежит И. М. Виноградову, к-рый доказал, что [img: http://localhost:8080/file/010304-268.jpg] Элементарное доказательство В. п. дано Ю. В. Линником в 1942. Существует много различных обобщений В. п. (переменные пробегают нек-рое подмножество множества натуральных чисел; вместо одночленов [img: http://localhost:8080/file/010304-269.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010304-270.jpg] в представлении числа Nрассматриваются многочлены [img: http://localhost:8080/file/010304-271.jpg]; вместо уравнения (1) рассматривается сравнение и т. д.). Особое значение В. п. состоит в том, что пря ее решении созданы мощные методы аналитической теории чисел. Лит.[1] Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952; [2] его же. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел, пер. е нем., М., 1964; [4] Делоне Б Н., Петербургская школа теории чисел, М.- Л., 1947; [5] Xинчин А. Я., Три жемчужины теории чисел, 2 изд., М.-Л., 1948. А. А. Карацуба.