Веиерштрасса эллиптические функции

ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с именами А. Лежандра (A. Legendre), Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi), в основу к-рого были положены эллиптич. функции 2-го порядка, имеющие в параллелограмме периодов два простых полюса, основная В. э. ф. имеет в параллелограмме периодов один полюс 2-го порядка. В теоретич. отношении теория Вейерштрасса более проста, так как исходная в этой теории функция [img: http://localhost:8080/file/010305-288.jpg] и ее производная служат образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с заданными примитивными периодами. Пэ-функция([img: http://localhost:8080/file/010305-289.jpg] -функция) Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/010305-290.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010305-291.jpg] - знак Вейерштрасса, стилизованная буква "пэ") для заданных примитивных периодов [img: http://localhost:8080/file/010305-292.jpg] определяется рядом [img: http://localhost:8080/file/010305-293.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010305-294.jpg] и целые числа [img: http://localhost:8080/file/010305-295.jpg] пробегают все значения, кроме пары [img: http://localhost:8080/file/010305-296.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010305-297.jpg] есть четная эллиптич. функция порядка 2, имеющая в каждом параллелограмме периодов единственный полюс 2-го порядка с нулевым вычетом. Ее производная [img: http://localhost:8080/file/010305-298.jpg] есть нечетная эллиптич. функция порядка 3 с теми же примитивными периодами; [img: http://localhost:8080/file/010305-299.jpg] имеет простые нули в точках, конгруэнтных [img: http://localhost:8080/file/010305-300.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010305-301.jpg]. Наиболее важное свойство функции [img: http://localhost:8080/file/010305-302.jpg] состоит в том, что любая эллиптич. функция с данными примитивными периодами [img: http://localhost:8080/file/010305-303.jpg] может быть представлена в виде рациональной функции от [img: http://localhost:8080/file/010305-304.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010305-305.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/010305-306.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010305-307.jpg] являются образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с данными периодами. Среди однопериодических тригонометрич. функций аналогом функции [img: http://localhost:8080/file/010305-308.jpg] служит [img: http://localhost:8080/file/010305-309.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/010305-310.jpg] удовлетворяет дифференциальному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010305-311.jpg] в к-ром модулярные формы. [img: http://localhost:8080/file/010305-312.jpg] наз. относительными инвариантами, а величины [img: http://localhost:8080/file/010305-313.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010305-314.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010305-315.jpg] - иррациональными инвариантами функции [img: http://localhost:8080/file/010305-316.jpg]. Абсолютным инвариантом функции [img: http://localhost:8080/file/010305-317.jpg] наз. всякая рациональная функция от [img: http://localhost:8080/file/010305-318.jpg] или от [img: http://localhost:8080/file/010305-319.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010305-320.jpg] есть дискриминант. Имеется в виду инвариантность относительно модулярных преобразований (см. Модулярная функция). В приложениях обычно [img: http://localhost:8080/file/010305-321.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010305-322.jpg] -действительные; если при этом [img: http://localhost:8080/file/010305-323.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010305-324.jpg] - также все действительные. Уравнение (2) показывает, что [img: http://localhost:8080/file/010305-325.jpg] может быть определена как обращение эллиптического интегралаIрода в нормальной форме Вейерштрасса: [img: http://localhost:8080/file/010305-326.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010305-327.jpg] отображает взаимно однозначно и конформно параллелограмм периодов на канонически разрезанную двулистную компактную риманову поверхность Fс точками ветвления [img: http://localhost:8080/file/010305-328.jpg] рода 1; поверхность F иногда наз. эллиптическим образом. На главной накрывающей поверхности F указанный интеграл I рода однозначен и является униформизирующей переменной для F. Эллиптич. интеграл II рода поля эллиптич. функций с данными периодами [img: http://localhost:8080/file/010306-1.jpg] при этой униформизации переходит в дзета-функцию (z-функцию) Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/010306-2.jpg], определяемую рядом [img: http://localhost:8080/file/010306-3.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010306-4.jpg] - нечетная мероморфная функция, связанная с [img: http://localhost:8080/file/010306-5.jpg] соотношением [img: http://localhost:8080/file/010306-6.jpg]; она не является периодической и при добавлении периодов преобразуется по закону [img: http://localhost:8080/file/010306-7.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010306-8.jpg]. При этом между [img: http://localhost:8080/file/010306-9.jpg] имеет место соотношение Лежандра [img: http://localhost:8080/file/010306-10.jpg]. равносильное соотношению между полными эллиптич. интегралами: [img: http://localhost:8080/file/010306-11.jpg] Произвольная эллиптич. функция [img: http://localhost:8080/file/010306-12.jpg] с данными периодами [img: http://localhost:8080/file/010306-13.jpg] выражается через [img: http://localhost:8080/file/010306-14.jpg] по формуле Эрмита: [img: http://localhost:8080/file/010306-15.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-16.jpg] - постоянная, [img: http://localhost:8080/file/010306-17.jpg] - полная система полюсов функции [img: http://localhost:8080/file/010306-18.jpg], числа [img: http://localhost:8080/file/010306-19.jpg] - коэффициенты главной части разложения Лорана функции [img: http://localhost:8080/file/010306-20.jpg] в окрестности полюса [img: http://localhost:8080/file/010306-21.jpg]. Разложение (4) есть аналог разложения произвольной рациональной функции на простейшие дроби. Среди тригонометрич. функций аналогом функции [img: http://localhost:8080/file/010306-22.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010306-23.jpg] Сигма-функция (s-функция) Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/010306-24.jpg] определяется как бесконечное произведение [img: http://localhost:8080/file/010306-25.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/010306-26.jpg] есть нечетная целая функция с нулями [img: http://localhost:8080/file/010306-27.jpg] связанная с функциями [img: http://localhost:8080/file/010306-28.jpg] п [img: http://localhost:8080/file/010306-29.jpg] соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/010306-30.jpg] она не является двоякопериодической; имеют место тождества: [img: http://localhost:8080/file/010306-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-32.jpg] Произвольная эллиптич. функция [img: http://localhost:8080/file/010306-33.jpg] с периодами [img: http://localhost:8080/file/010306-34.jpg] выражается через [img: http://localhost:8080/file/010306-35.jpg] в виде: * [img: http://localhost:8080/file/010306-36.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-37.jpg] - постоянная; [img: http://localhost:8080/file/010306-38.jpg] - нулевая полная система нулей и полюсов функции [img: http://localhost:8080/file/010306-39.jpg]. Среди тригонометрпч. функций аналогом функции [img: http://localhost:8080/file/010306-40.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010306-41.jpg] В теории Вейерштрасса имеют также значение сигма-функции с индексами: [img: http://localhost:8080/file/010306-42.jpg] Функции [img: http://localhost:8080/file/010306-43.jpg] выражаются через тета-функции [img: http://localhost:8080/file/010306-44.jpg] (см. Якоби эллиптические функции), а функция [img: http://localhost:8080/file/010306-45.jpg] просто выражается через [img: http://localhost:8080/file/010306-46.jpg] что составляет вычислительный базис функции Вейерштрасса. Можно получить и непосредственное выражение В. э. ф. через эллиптич. функции Якоби, напр, в виде: [img: http://localhost:8080/file/010306-47.jpg] В прикладных вопросах обычно заданы относительные инварианты [img: http://localhost:8080/file/010306-48.jpg]. При этом для вычисления примитивных периодов [img: http://localhost:8080/file/010306-49.jpg] используется абсолютный инвариант [img: http://localhost:8080/file/010306-50.jpg] к-рый является модулярной функцией от отношения периодов [img: http://localhost:8080/file/010306-51.jpg] (см. также Модулярная функция).