Вейерштрасса условия

экстремума - необходимое и (отдельно) достаточное условия сильного экстремума в классическом вариационном исчислении. Предложены К. Вейерштрассом (К. Weierstrass, 1879). Необходимое условие Вейерштрасса: для того чтобы функционал [img: http://localhost:8080/file/010305-207.jpg] достигал локального сильного минимума на экстремали [img: http://localhost:8080/file/010305-208.jpg], необходимо, чтобы для всех [img: http://localhost:8080/file/010305-209.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/010305-210.jpg] выполнялось [img: http://localhost:8080/file/010305-211.jpg] неравенство где [img: http://localhost:8080/file/010305-212.jpg] - Вейерштрасса [img: http://localhost:8080/file/010305-213.jpg] -функция. Это условие может быть выражено через функцию [img: http://localhost:8080/file/010305-214.jpg] (см. Понтрягина принцип максимума). В. у. ([img: http://localhost:8080/file/010305-215.jpg] на экстремали [img: http://localhost:8080/file/010305-216.jpg]) эквивалентно тому, что функция [img: http://localhost:8080/file/010305-217.jpg] достигает максимума по [img: http://localhost:8080/file/010305-218.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010305-219.jpg]. Тем самым необходимое В. у. оказывается частным случаем принципа максимума Понтрягина. Достаточное условие Вейерштрасса: для того чтобы функционал [img: http://localhost:8080/file/010305-220.jpg] достигал локального сильного минимума на вектор-функции [img: http://localhost:8080/file/010305-221.jpg] достаточно, чтобы в окрестности G кривой [img: http://localhost:8080/file/010305-222.jpg] нашлась вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/010305-223.jpg] наклона поля (геодезич. наклона) (см. Гильберта инвариантный интеграл), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010305-224.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010305-225.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010305-226.jpg] и любого вектора [img: http://localhost:8080/file/010305-227.jpg].