Вейля когомологии

- когомологии алгебраич. многообразий с коэффициентами в поле нулевой характеристики, обладающие формальными свойствами, необходимыми для получения Лефшеца формулы для числа неподвижных точек. Необходимость такой теории была высказана А. Вейлем [1], показавшим, что рациональность дзета-функций многообразия и L- функций многообразия над конечным полем следует иа формулы Лефшеца, а остальные гипотезы о [img: http://localhost:8080/file/010306-126.jpg] -функции естественно формулируются в когомологических терминах. Пусть многообразие Xесть связная гладкая проективная схема над фиксированным алгебраически замкнутым полем kи пусть К - некоторое поле характеристики 0. Тогда когомологиями Вейля с полем коэффициентов Кназывается контра вариантный функтор [img: http://localhost:8080/file/010306-127.jpg] из категории многообразий в категорию конечномерных градуированных антикоммутативных K-алгебр, удовлетворяющий следующим условиям: 1) Если [img: http://localhost:8080/file/010306-128.jpg] изоморфно К, и отображение [img: http://localhost:8080/file/010306-129.jpg] определенное умножением в [img: http://localhost:8080/file/010306-130.jpg] невырождено при всех i; 2) [img: http://localhost:8080/file/010306-131.jpg] (формула Кюндета); 3) Отображение циклов. Существует функториальный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010306-132.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010306-133.jpg] алгебраич. циклов Xкоразмерности [img: http://localhost:8080/file/010306-134.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010306-135.jpg], переводящий прямое произведение циклов в тензорное произведение, и нетривиальный в том смысле, что (для точки Р). [img: http://localhost:8080/file/010306-136.jpg]. превращается в канонич. [img: http://localhost:8080/file/010306-137.jpg] вложение [img: http://localhost:8080/file/010306-138.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010306-139.jpg] наз. i-м числом Бетти многообразия X. Примеры. Если [img: http://localhost:8080/file/010306-140.jpg], то классические когомоло-гии комплексных многообразий с коэффициентами в [img: http://localhost:8080/file/010306-141.jpg] являются В. к. Если l - простое число, отличное от характеристики поля k, то этальные l-адические кого-мологии [img: http://localhost:8080/file/010306-142.jpg] являются В. к. с коэффициентами в поле [img: http://localhost:8080/file/010306-143.jpg]. Для В. [img: http://localhost:8080/file/010306-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-145.jpg] - индекс пересечения в [img: http://localhost:8080/file/010306-146.jpg] графика Г морфизма ис диагональю [img: http://localhost:8080/file/010306-147.jpg], интерпретируемый также как число неподвижных точек эндоморфизма и, а [img: http://localhost:8080/file/010306-148.jpg] - след эндоморфизма ui являющегося ограничением ина [img: http://localhost:8080/file/010306-149.jpg]. Более того, эта формула верна также для соответствий, т. е. элементов [img: http://localhost:8080/file/010306-150.jpg].