Вейля метод

в теории чисел - метод для получения нетривиальных оценок тригонометрич. сумм вида [img: http://localhost:8080/file/010306-159.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-160.jpg] а an,...,a1 - любые действительные числа. В. м. был разработан Г. Вейлем [1] для установления критериев равномерного распределения (см. Вейля критерий). Сущность В. м. заключается в следующем. Сумма (1) возвышается в степень [img: http://localhost:8080/file/010306-161.jpg] путем последовательных возвышений в квадрат с целью понижения степени многочлена [img: http://localhost:8080/file/010306-162.jpg]. Напр., на первом шаге [img: http://localhost:8080/file/010306-163.jpg] где суммирования производятся по интервалам длины [img: http://localhost:8080/file/010306-164.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010306-165.jpg] является многочленом степени [img: http://localhost:8080/file/010306-166.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010306-167.jpg] (символы [img: http://localhost:8080/file/010306-168.jpg] обозначают величины порядка Р). На (n- 1)-м шаге приходят к внутренней сумме [img: http://localhost:8080/file/010306-169.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010306-170.jpg] Суммы вида (2) оцениваются с помощью неравенства: [img: http://localhost:8080/file/010306-171.jpg] В результате получается оценка: [img: http://localhost:8080/file/010306-172.jpg] Из неравенства (3) выводятся различные оценки суммы (1) в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/010306-173.jpg] будет величиной малой по сравнению с Р. Эти оценки зависят от точности, с к-рой коэффициент [img: http://localhost:8080/file/010306-174.jpg] многочлена [img: http://localhost:8080/file/010306-175.jpg] аппроксимируется рациональными дробями. Пример. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010306-176.jpg] Тогда имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/010306-177.jpg] ' В частности, если [img: http://localhost:8080/file/010306-178.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010306-179.jpg] В. м. позволил решить в первом приближении ряд важных проблем теории чисел. С помощью оценки (3) и ее следствий было исследовано распределение дробных долей многочлена [img: http://localhost:8080/file/010306-180.jpg]. Решение Варинга проблемы, данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-вудом (J. Е. Littlewood), опиралось на оценки сумм (1) с помощью В. м. При этом им удалось оценить значения [img: http://localhost:8080/file/010306-181.jpg], для к-рых уравнение [img: http://localhost:8080/file/010306-182.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010306-183.jpg] - целое, [img: http://localhost:8080/file/010306-184.jpg] -целые) разрешимо или даже имеет асимптотику для числа решений. Обобщение оценки (3) на случай функций [img: http://localhost:8080/file/010306-185.jpg], не являющихся многочленами, но в известном смысле близких к ним, привело к улучшению нек-рых теорем в теории распределения простых чисел (оценка разности соседних простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич. формуле для числа [img: http://localhost:8080/file/010306-186.jpg] простых чисел, не превосходящих N). Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью В. м., объясняется высокой степенью r0, в к-рую возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование оценок сумм (1) дал И. ван дер Корпют (J. van der Corput). С помощью Виноградова метода получается весьма точная оценка сверху для интеграла [img: http://localhost:8080/file/010306-187.jpg] уже при [img: http://localhost:8080/file/010306-188.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010306-189.jpg] - константа, [img: http://localhost:8080/file/010306-190.jpg]). Из этой оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся принципиально новые оценки сумм Вейля (1) (с понижающим множителем [img: http://localhost:8080/file/010306-191.jpg] - константа), недосягаемые для В. м.