Векторная алгебра

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу этих операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой [img: http://localhost:8080/file/010306-274.jpg] векторов [img: http://localhost:8080/file/010306-275.jpg] наз. вектор, проведенный из начала [img: http://localhost:8080/file/010306-276.jpg] к концу [img: http://localhost:8080/file/010306-277.jpg], если конец [img: http://localhost:8080/file/010306-278.jpg] и начало [img: http://localhost:8080/file/010307-1.jpg] совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010307-3.jpg] - нулевой вектор,- [img: http://localhost:8080/file/010307-4.jpg] есть вектор, противоположный вектору [img: http://localhost:8080/file/010307-5.jpg]. Разностью [img: http://localhost:8080/file/010307-6.jpg] векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-7.jpg] наз. вектор [img: http://localhost:8080/file/010307-8.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/010307-9.jpg] Произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-10.jpg] вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-11.jpg] на число [img: http://localhost:8080/file/010307-12.jpg] в случае [img: http://localhost:8080/file/010307-13.jpg] пал. вектор, модуль к-рого равен [img: http://localhost:8080/file/010307-14.jpg] и к-рый направлен в ту же сторону, что и вектор [img: http://localhost:8080/file/010307-15.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010307-16.jpg], и в противоположную, если [img: http://localhost:8080/file/010307-17.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010307-18.jpg] или (и) [img: http://localhost:8080/file/010307-19.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010307-20.jpg]. Операция умножения вектора на число обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-21.jpg] (дистрибутивность относительно сложения векторов), [img: http://localhost:8080/file/010307-22.jpg] (дистрибутивность относительно сложения чисел), [img: http://localhost:8080/file/010307-23.jpg] (ассоциативность), [img: http://localhost:8080/file/010307-24.jpg] (умножение на единицу). Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В В. а. важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-25.jpg] наз. линейно зависимыми векторами, если существуют числа [img: http://localhost:8080/file/010307-26.jpg] из к-рых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/010307-27.jpg] Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-28.jpg] нулевой, то они линейно зависимы. Векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-29.jpg] наз. линейно независимым и, если из равенства (1) следует, что числа [img: http://localhost:8080/file/010307-30.jpg] равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов. Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-31.jpg] трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует б а-з и с. Любой вектор [img: http://localhost:8080/file/010307-32.jpg] единственным образом представляется в виде суммы: [img: http://localhost:8080/file/010307-33.jpg] Числа [img: http://localhost:8080/file/010307-34.jpg] наз. координатами (компонентами) вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-35.jpg] в данном базисе и пишут [img: http://localhost:8080/file/010307-36.jpg]. Два вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-37.jpg] н [img: http://localhost:8080/file/010307-38.jpg] равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым в достаточным условием коллинеарности векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-39.jpg] является пропорциональность их соответствующих координат: [img: http://localhost:8080/file/010307-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-41.jpg] Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-42.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-43.jpg] является равенство [img: http://localhost:8080/file/010307-44.jpg] Линейные операции над векторами сводятся клинейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-46.jpg] равны суммам соответствующих координат: [img: http://localhost:8080/file/010307-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-48.jpg] Координаты произведения вектора ана число [img: http://localhost:8080/file/010307-49.jpg] равны произведениям координат [img: http://localhost:8080/file/010307-51.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010307-52.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010307-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-50.jpg] Скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-54.jpg] ненулевых векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-55.jpg] наз. произведение их модулей на косинус угла [img: http://localhost:8080/file/010307-56.jpg] между ними: [img: http://localhost:8080/file/010307-57.jpg] За j принимается угол между векторами, не превосходящий [img: http://localhost:8080/file/010307-58.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010307-59.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010307-60.jpg], то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-61.jpg] (коммутативность), [img: http://localhost:8080/file/010307-62.jpg] (дистрибутивность относительно сложения векторов), [img: http://localhost:8080/file/010307-63.jpg] (сочетательность относительно умножения на число), [img: http://localhost:8080/file/010307-64.jpg] лишь если [img: http://localhost:8080/file/010307-65.jpg] Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) [img: http://localhost:8080/file/010307-66.jpg] (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-67.jpg] заданных в ортонормированием базисе, вычисляется по формуле: [img: http://localhost:8080/file/010307-68.jpg] Косинус угла [img: http://localhost:8080/file/010307-69.jpg] между ненулевыми векторами [img: http://localhost:8080/file/010307-70.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-71.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-72.jpg] может быть вычислен по формуле [img: http://localhost:8080/file/010307-73.jpg] Косинусы углов вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-74.jpg] с векторами базиса [img: http://localhost:8080/file/010307-75.jpg] наз. направляющими косинусами вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-77.jpg] Направляющие косинусы обладают следующим свойством: [img: http://localhost:8080/file/010307-78.jpg] Осью наз. прямая с лежащим на ней единичным вектором [img: http://localhost:8080/file/010307-79.jpg] - ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией [img: http://localhost:8080/file/010307-80.jpg] вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-81.jpg] на ось наз. направленный отрезок на оси, алгебраич. значение к-рого равно скалярному произведению вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-82.jpg] на вектор [img: http://localhost:8080/file/010307-83.jpg]. Проекции обладают свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-84.jpg] Каждая координата вектора в ортонормированием базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. [img: http://localhost:8080/file/010307-86.jpg] В пространстве различают правые н левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-85.jpg] наз. правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-87.jpg] в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае [img: http://localhost:8080/file/010307-88.jpg] - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рис.). Все правые (или левые) тройки векторов наз. одинаково ориентированными. Ниже тройка векторов базиса [img: http://localhost:8080/file/010307-89.jpg] считается правой. Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от [img: http://localhost:8080/file/010307-90.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/010307-91.jpg] |. Псевдоскалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-92.jpg] ненулевых векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-93.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-94.jpg] наз. произведение их модулей на синус угла [img: http://localhost:8080/file/010307-95.jpg] положительного вращения от [img: http://localhost:8080/file/010307-96.jpg] к [img: http://localhost:8080/file/010307-97.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010307-98.jpg] Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-99.jpg] (антикоммутативность), [img: http://localhost:8080/file/010307-100.jpg] (дистрибутивность относительно сложения векторов), [img: http://localhost:8080/file/010307-101.jpg] (сочетательность относительно умножения на число), [img: http://localhost:8080/file/010307-102.jpg] лишь если [img: http://localhost:8080/file/010307-103.jpg] или (и) [img: http://localhost:8080/file/010307-104.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010307-105.jpg] кол-ливеарны. Если в ортонормированием базисе векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-106.jpg] имеют координаты [img: http://localhost:8080/file/010307-107.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-108.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010307-109.jpg] Векторным произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-110.jpg] ненулевых и неколлинеарных векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-111.jpg] наз. вектор, модуль к-рого равен произведению их модулей на синус угла [img: http://localhost:8080/file/010307-112.jpg] между ними, перпендикулярный [img: http://localhost:8080/file/010307-113.jpg] и направленный так, что тройка векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-114.jpg] - правая: [img: http://localhost:8080/file/010307-115.jpg] Векторное произведение полагают равным нулю, если [img: http://localhost:8080/file/010307-116.jpg] или (и) [img: http://localhost:8080/file/010307-117.jpg] или они коллинеарны. Векторное произведение обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-118.jpg] (антикоммутативность), [img: http://localhost:8080/file/010307-119.jpg] (дистрибутивность относительно сложения векторов), [img: http://localhost:8080/file/010307-120.jpg] (сочетательность относительно умножения на число), [img: http://localhost:8080/file/010307-121.jpg] лишь если [img: http://localhost:8080/file/010307-122.jpg] или(и) [img: http://localhost:8080/file/010307-123.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010307-124.jpg] коллинеарны. Если в ортонормпрованном базисе векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-125.jpg] имеют координаты [img: http://localhost:8080/file/010307-126.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010307-127.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010307-128.jpg] Смешанным произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-129.jpg] векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-130.jpg] наз. скалярное произведение вектора [img: http://localhost:8080/file/010307-131.jpg] на векторное произведение векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-132.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010307-133.jpg] Смешанное произведение обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/010307-134.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010307-135.jpg] лишь если [img: http://localhost:8080/file/010307-136.jpg] или (и) [img: http://localhost:8080/file/010307-137.jpg] или (и) [img: http://localhost:8080/file/010307-138.jpg] или векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-139.jpg] компланарны. [img: http://localhost:8080/file/010307-140.jpg] если тройка векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-141.jpg] - правая, [img: http://localhost:8080/file/010307-142.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010307-143.jpg] - тройка левая. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах [img: http://localhost:8080/file/010307-144.jpg] Если в ортонормированном базисе векторы [img: http://localhost:8080/file/010307-145.jpg] имеют координаты [img: http://localhost:8080/file/010307-146.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010307-147.jpg] Двойным векторным произведением [img: http://localhost:8080/file/010307-149.jpg] векторов [img: http://localhost:8080/file/010307-150.jpg] наз. векторное произведение [img: http://localhost:8080/file/010307-148.jpg]. При вычислении двойного векторного произведения имеют место формулы: [img: http://localhost:8080/file/010307-151.jpg]