Векторное расслоение

локально тривиальное расслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-90.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010308-91.jpg], каждый слои к-рого [img: http://localhost:8080/file/010308-92.jpg] наделен структурой (конечномерного) векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010308-93.jpg] над телом [img: http://localhost:8080/file/010308-94.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010308-95.jpg] наз. размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально свободный модуль [img: http://localhost:8080/file/010308-96.jpg] над кольцом непрерывных функций на Всо значениями в [img: http://localhost:8080/file/010308-97.jpg]. Морфизмом В. р. наз. морфизм расслоений [img: http://localhost:8080/file/010308-98.jpg] ', для к-рого каждое отображение является линейным отображением. Совокупность В. р. и их морфизмов образует категорию Bund. Понятие В. р. возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики - в дифференциальной и алгебраич. топологии, теории линейных связно-стей, алгебраич. геометрии, теории (псевдо)дифференциальных операторов и т. д. Подмножество [img: http://localhost:8080/file/010308-99.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010308-100.jpg] есть В. р. и [img: http://localhost:8080/file/010308-101.jpg] - векторное подпространство [img: http://localhost:8080/file/010308-102.jpg], наз. подрасслоением В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-103.jpg]. Пусть, напр., V - векторное пространство и [img: http://localhost:8080/file/010308-104.jpg] - Грассмана многообразие подпространства Vразмерности [img: http://localhost:8080/file/010308-105.jpg]; тогда подпространство произведения [img: http://localhost:8080/file/010308-106.jpg] состоящее из пар [img: http://localhost:8080/file/010308-107.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/010308-108.jpg], есть подрасслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-109.jpg] тривиального В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-110.jpg] объединение всех векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/010308-111.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010308-112.jpg] - подрасслоение я, снабженное фактортопологией, наз. фактор-расслоением В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-113.jpg]. Пусть, далее, V - векторное пространство и [img: http://localhost:8080/file/010308-114.jpg] - комногообразие Грассмана подпространств Vкоразмерности k;тогда факторпространство произведения [img: http://localhost:8080/file/010308-115.jpg] по подрасслоению, состоящему из пар [img: http://localhost:8080/file/010308-116.jpg], есть факторрасслоение gk тривиального В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-117.jpg]. Понятия подрасслое-ния и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения В. р. над факторпространствами. В-морфизм В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-118.jpg] наз. точным, если [img: http://localhost:8080/file/010308-119.jpg] локально постоянна на В. Инъективный и сюрьективный морфизмы являются точными и наз. соответственно мономорфизмом и эпиморфизмом В. р. Для точного морфизма [img: http://localhost:8080/file/010308-120.jpg] однозначно определены следующие В. р.: [img: http://localhost:8080/file/010308-121.jpg] - под-расслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-122.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010308-123.jpg] - подрасслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010308-125.jpg] (коядро [img: http://localhost:8080/file/010308-126.jpg]) - факторрасслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-127.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010308-128.jpg] (кообраз [img: http://localhost:8080/file/010308-129.jpg]) - факторрасслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-130.jpg]; каждое подрасслоение p1 является образом нск-рого мономорфизма [img: http://localhost:8080/file/010308-131.jpg] а факторрасслоение p2 - коядром нек-рого эпиморфизма [img: http://localhost:8080/file/010308-132.jpg] Последовательность В-морфизмов В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-133.jpg] наз. точной, если для всех [img: http://localhost:8080/file/010308-134.jpg] является точной последовательность [img: http://localhost:8080/file/010308-135.jpg] В частности, последовательность [img: http://localhost:8080/file/010308-136.jpg] (где 0 - нулевое В. р.: [img: http://localhost:8080/file/010308-137.jpg]) точна, если [img: http://localhost:8080/file/010308-138.jpg] - мономорфизм, [img: http://localhost:8080/file/010308-139.jpg] - эпиморфизм и [img: http://localhost:8080/file/010308-140.jpg]. Совокупность В. р. над Ви их точных В-морфизмов образует точную подкатегорию [img: http://localhost:8080/file/010308-141.jpg] категории Bund. Для любого В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-142.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010308-143.jpg] и отображения [img: http://localhost:8080/file/010308-144.jpg] - индуцированное расслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-145.jpg]. снабжается такой структурой В. р., что морфизм [img: http://localhost:8080/file/010308-146.jpg] является морфизмом В. р. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение [img: http://localhost:8080/file/010308-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010308-148.jpg] является изоморфизмом векторных пространств. Напр., каждое В. р. размерности kнад пара-компактным пространством Визоморфно В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-149.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-150.jpg], индуцированным нек-рыми отображениями [img: http://localhost:8080/file/010308-151.jpg] соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные В. р., и, если [img: http://localhost:8080/file/010308-152.jpg],- наоборот: изоморфным В. р. соответствуют гомотопные отображения [img: http://localhost:8080/file/010308-153.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-154.jpg]. Это - одна из основных теорем гомотопической классификации В. р., выражающая универсальность В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-156.jpg] по отношению к классифицирующим отображениям [img: http://localhost:8080/file/010308-157.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-158.jpg] Любой непрерывной операции (функтору) Т на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории В. р. над В;таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным В. р.: тензорные расслоения, В. р. морфизмов [img: http://localhost:8080/file/010308-159.jpg] и, в частности, сопряженное В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-160.jpg], внешние степени В. р. и т. д., сечения к-рых наделяют В. р. дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях. Для В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-161.jpg] определяются прямая сумма (сумма У и т н и) [img: http://localhost:8080/file/010308-162.jpg] и тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/010308-163.jpg],- относительно этих операций множество классов Vektfl, изоморфных над В, В. р. образуют полукольцо, играющее важную роль в построении К-функтора;так, если для В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-164.jpg] существуют тривиальные В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-165.jpg] такие, что В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-166.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-167.jpg] изоморфны (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010308-168.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010308-169.jpg] стабильно эквивалентны), то их образы в пополнении K(В) полукольца [img: http://localhost:8080/file/010308-170.jpg] совпадают, при этом существование обратного В. р. для любого В. р. над параксмпактным пространством влечет совпадение кольца [img: http://localhost:8080/file/010308-171.jpg] и множества классов стабильной эквивалентности В. р. Для каждого В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-172.jpg] над паракомпактным пространством Всуществует сечение [img: http://localhost:8080/file/010308-173.jpg] В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-174.jpg] где Р - тривиальное одномерное В. р., являющееся на каждом слое [img: http://localhost:8080/file/010308-175.jpg] положительно определенной формой, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010308-176.jpg] - метризуемое; это позволяет установить, в частности, расщепляемость любой точной последовательности В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-177.jpg] в которой [img: http://localhost:8080/file/010308-178.jpg] метризовано,- существование такого морфизма [img: http://localhost:8080/file/010308-179.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010308-180.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010308-181.jpg] - вложение в первое слагаемое, [img: http://localhost:8080/file/010308-182.jpg] - проекция на второе слагаемое. Отождествлением в каждом слое [img: http://localhost:8080/file/010308-183.jpg] В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-184.jpg] точек, лежащих на одной прямой, проходящей через О, получается расслоение [img: http://localhost:8080/file/010308-185.jpg], ассоциированное с В. р. [img: http://localhost:8080/file/010308-186.jpg] и наз. его проективизацией; слоем p0 является проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/010308-187.jpg], ассоциированное с V. С помощью этого расслоения изучаются Тома пространства [img: http://localhost:8080/file/010308-188.jpg]. используемые для гомотопической интерпретации классов бор-дантных многообразий, характеристических классов В. р., описывающих гомологические свойства многообразий, и т. д. Понятие В. р. обобщается на случай, когда слой является бесконечномерным векторным пространством; при этом следует различать разные топологии пространства морфизмов [img: http://localhost:8080/file/010308-189.jpg], вносить соответствующие изменения в определение точности морфизмов и их последовательностей, а также в построение В. р., ассоциированных с непрерывными функторами на категории бесконечномерных векторных пространств.