Векторный анализ

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля. Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля [img: http://localhost:8080/file/010308-208.jpg] в точке Мможет быть представлено в виде: [img: http://localhost:8080/file/010308-209.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-210.jpg] - вектор, соединяющий точку [img: http://localhost:8080/file/010308-211.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010308-212.jpg] - расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/010308-213.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010308-214.jpg] -линейная форма относительно вектора [img: http://localhost:8080/file/010308-215.jpg]. Линейная форма [img: http://localhost:8080/file/010308-216.jpg] единственным образом может быть представлена в следующем виде: [img: http://localhost:8080/file/010308-218.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-217.jpg] - не зависящий от [img: http://localhost:8080/file/010308-219.jpg] (т. е. выбора точки М') вектор. Вектор [img: http://localhost:8080/file/010308-220.jpg] наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом [img: http://localhost:8080/file/010308-221.jpg] В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, [img: http://localhost:8080/file/010308-222.jpg] является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня [img: http://localhost:8080/file/010308-223.jpg] скалярного поля ис производной по направлению [img: http://localhost:8080/file/010308-224.jpg] связан соотношением: [img: http://localhost:8080/file/010308-225.jpg] Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010308-226.jpg] наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т. е. приращение поля [img: http://localhost:8080/file/010308-227.jpg] в точке Мединственным образом может быть представлено в виде: [img: http://localhost:8080/file/010308-228.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-229.jpg] - линейный оператор, не зависящий от [img: http://localhost:8080/file/010308-230.jpg] (от выбора точки [img: http://localhost:8080/file/010308-231.jpg]). Дивергенцией div авекторного поля [img: http://localhost:8080/file/010308-232.jpg] наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора [img: http://localhost:8080/file/010308-233.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010308-234.jpg] (*) где [img: http://localhost:8080/file/010308-235.jpg] - взаимные базисы [img: http://localhost:8080/file/010308-236.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010308-237.jpg] - символ Кронекера). Если [img: http://localhost:8080/file/010308-238.jpg] - поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то [img: http://localhost:8080/file/010308-239.jpg] в точке Мозначает интенсивность источника ([img: http://localhost:8080/file/010308-240.jpg]) или стока ([img: http://localhost:8080/file/010308-241.jpg]), находящихся в точке М, или отсутствие их ([img: http://localhost:8080/file/010308-242.jpg]). Вихрем (ротором) [img: http://localhost:8080/file/010308-243.jpg] векторного поля [img: http://localhost:8080/file/010308-244.jpg] наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*): [img: http://localhost:8080/file/010308-245.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-246.jpg] - взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля. Для векторных и скалярных полей класса [img: http://localhost:8080/file/010308-247.jpg] возможны повторные операции, напр.: [img: http://localhost:8080/file/010308-248.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-249.jpg] - оператор Лапласа. Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция. В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая. Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей [img: http://localhost:8080/file/010308-250.jpg]. Тогда справедлива Стокса формула: [img: http://localhost:8080/file/010308-251.jpg] причем нормальный к Sвектор n и касательный к dS вектор [img: http://localhost:8080/file/010308-252.jpg] должны определять согласованные ориентации поверхности [img: http://localhost:8080/file/010308-253.jpg] и края [img: http://localhost:8080/file/010308-254.jpg]. Интеграл наз. циркуляцией векторного поля [img: http://localhost:8080/file/010308-255.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010308-256.jpg] по кривой [img: http://localhost:8080/file/010308-257.jpg]. Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой области, равна нулю, то векторное поле наз. потенциальным в этой области. В односвязной области векторное поле потенциальное, если [img: http://localhost:8080/file/010308-258.jpg] Для потенциального векторного поля существует так наз. скалярный потенциал - функция [img: http://localhost:8080/file/010308-259.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/010308-260.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/010308-261.jpg] где точки [img: http://localhost:8080/file/010308-262.jpg] - кусочно гладкая кривая, [img: http://localhost:8080/file/010308-263.jpg] - единичный вектор касательной к [img: http://localhost:8080/file/010308-264.jpg] - дифференциал дуги. Пусть векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010308-265.jpg] непрерывно и дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно гладкой границей [img: http://localhost:8080/file/010308-266.jpg], тогда справедлива Остроградского формула: [img: http://localhost:8080/file/010308-267.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010308-268.jpg] - вектор внешней нормали к [img: http://localhost:8080/file/010308-269.jpg]. Интеграл наз. потоком векторного поля [img: http://localhost:8080/file/010308-270.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/010308-271.jpg] поверхность [img: http://localhost:8080/file/010308-272.jpg]. Если поток векторного поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-пересекающуюся ориентированную поверхность, расположенную в V т представляющую собой границу яек-рой ограниченной подобласти области V, равен нулю, то векторное поле [img: http://localhost:8080/file/010308-273.jpg] наз. соленондальным в области V. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010308-274.jpg] во всех точках V. Для соленоидального векторного поля [img: http://localhost:8080/file/010308-275.jpg] существует так наз. векторный потенциал - функция (М).такая, что [img: http://localhost:8080/file/010308-276.jpg] Если дивергенция и вихрь векторного поля определены в каждой точке Мобласти D, то всюду в Dвекторное поле может быть представлено в виде суммы потенциального [img: http://localhost:8080/file/010308-277.jpg] и соленоидального [img: http://localhost:8080/file/010308-278.jpg] полей (теорема Гельмгольца): [img: http://localhost:8080/file/010308-279.jpg] Векторные поля, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010308-280.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010308-281.jpg], наз. гармоническими. Потенциал [img: http://localhost:8080/file/010308-282.jpg] гармонич. поля удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле [img: http://localhost:8080/file/010308-283.jpg] также наз. гармоническим. Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов.