Вербальная подгруппа

- подгруппа [img: http://localhost:8080/file/010309-39.jpg] группы G, порожденная всевозможными значениями всех слов из нек-рого множества [img: http://localhost:8080/file/010309-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010309-41.jpg] когда [img: http://localhost:8080/file/010309-42.jpg] независимо друг от друга пробегают всю группу G. В. п. нормальна; конгруэнция, определяемая с помощью В. п. на группе, является вербальной конгруэнцией (см. также Алгебраических систем многообразие). Примеры В. п.: 1) коммутант [img: http://localhost:8080/file/010309-43.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010309-44.jpg], определяемый коммутатором [img: http://localhost:8080/file/010309-45.jpg]; 2) n-й коммутант [img: http://localhost:8080/file/010309-46.jpg]; 3) члены нижнего центрального ряда [img: http://localhost:8080/file/010309-47.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010309-48.jpg] - В. п., определяемая коммутатором [img: http://localhost:8080/file/010309-49.jpg] 4) степень [img: http://localhost:8080/file/010309-50.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010309-51.jpg], определяемая словом [img: http://localhost:8080/file/010309-52.jpg]. При любом гомоморфизме [img: http://localhost:8080/file/010309-53.jpg] справедливо равенство. [img: http://localhost:8080/file/010309-54.jpg]. В частности, [img: http://localhost:8080/file/010309-55.jpg] - вполне характеристическая подгруппа в G. Обратное верно для свободных групп, но не в общем случае: пересечение двух В. п. может п не быть В. п. Для прямого произведения групп [img: http://localhost:8080/file/010309-56.jpg] что, однако, уже неверно при переходе к декартову произведению. Особо важную роль играют В. п. свободной группы Xсчетного ранга. Они составляют (дедекиндову) подре-шетку решетки всех ее подгрупп. В. п. обладает свойством "монотонности": если [img: http://localhost:8080/file/010309-57.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010309-58.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010309-59.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010309-60.jpg] означает, что [img: http://localhost:8080/file/010309-61.jpg] является нормальным делителем группы X), то и [img: http://localhost:8080/file/010309-62.jpg].В частности, [img: http://localhost:8080/file/010309-63.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/010309-64.jpg].