Верхних и нижних функций метод

метод доказательства существования решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Идея В. н н. ф. м. для случая обыкновенных дифференциальных уравнений усматривается в работах Дж. Пеано (G. Peano, 1880), для случая Дирихле задачи и для Лапласа уравнения - в выметании методе А. Пуанкаре (Н. Poincare); первое полное изложение В. и н. ф. м. для этого последнего случая дано О. Перроном [1]. Пусть поставлена задача Дирихле в области Gпространства [img: http://localhost:8080/file/010310-158.jpg] для линейного однородного эллиптич. уравнения 2-го порядка с непрерывными коэффициентами вида [img: http://localhost:8080/file/010310-159.jpg] В. и н. ф. м. состоит в том, что, в предположении разрешимости задачи (1), (2) в малом, вводятся обобщенные супергармонич. функции (соответственно субгармонические). Непрерывная на области G функция vназ. обобщенной супергармонпческой функцией (соответственно субгармонической) в области G, если для любого достаточно малого шара [img: http://localhost:8080/file/010310-160.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010310-161.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010310-162.jpg]), где [img: http://localhost:8080/file/010310-163.jpg] - непрерывная на Gфункция, равная [img: http://localhost:8080/file/010310-164.jpg] вне [img: http://localhost:8080/file/010310-165.jpg] и на его границе и удовлетворяющая внутри [img: http://localhost:8080/file/010310-166.jpg] уравнению (1). Для непрерывной на границе [img: http://localhost:8080/file/010310-167.jpg] функции f обобщенная супергармонич. (соответственно субгармоническая) функция vназ. верхней (соответственно нижней), если для [img: http://localhost:8080/file/010310-168.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/010310-169.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010310-170.jpg]). Классы [img: http://localhost:8080/file/010310-171.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010310-172.jpg] всех, соответственно, верхних и нижних функций не пусты, причем если [img: http://localhost:8080/file/010310-173.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010310-174.jpg] (см. [3]). Обобщенное решение задачи Дирихле определяется как нижняя огибающая класса [img: http://localhost:8080/file/010310-175.jpg] или как верхняя огибающая класса [img: http://localhost:8080/file/010310-176.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010310-177.jpg] Если граница [img: http://localhost:8080/file/010310-178.jpg] допускает существование барьера в каждой своей точке, то [img: http://localhost:8080/file/010310-179.jpg] всюду на [img: http://localhost:8080/file/010310-180.jpg], т. е. и - классич. решение задачи Дирихле. В общем случае поведение обобщенного решения (3) эллиптич. уравнения (1) в точках границы совершенно аналогично поведению обобщенного решения уравнения Лапласа; см. Перрона метод. В. и н. ф. м. применяется также при исследовании первой краевой задачи для линейного однородного па-раболич. уравнения 2-го порядка вида [img: http://localhost:8080/file/010310-181.jpg] с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/010310-182.jpg] и краевым условием [img: http://localhost:8080/file/010310-183.jpg] если ввести суперпараболические (субпараболические) функции, аналогичные по своим свойствам обобщенным супергармоническим (субгармоническим) функциям (см.[4]).