Верхняя и нижняя грани

характеристики множеств на прямой. Верхняя грань нек-рого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множеетво. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу. Более подробно: пусть задано нек-рое подмножество Xдействительных чисел. Число b наз. его верхней гранью (в. г.) и обозначается sup X(от латинского слова supremum - наивысшее), если для каждого числа [img: http://localhost:8080/file/010310-199.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010310-200.jpg], и каково бы ни было [img: http://localhost:8080/file/010310-201.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/010310-202.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010310-203.jpg]. Число [img: http://localhost:8080/file/010310-204.jpg] наз. нижней гранью (н. г.) множества [img: http://localhost:8080/file/010310-205.jpg] п обозначается [img: http://localhost:8080/file/010310-206.jpg] (от латинского слова infimum - наинизшее), если для каждого [img: http://localhost:8080/file/010310-207.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010310-208.jpg], и каково бы ни было [img: http://localhost:8080/file/010310-209.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/010310-210.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010310-211.jpg] Примеры: [img: http://localhost:8080/file/010310-212.jpg] если множество Xсостоит из двух точек [img: http://localhost:8080/file/010310-213.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010310-214.jpg] Эти примеры показывают, в частности, что в. г. (н. г.) может как принадлежать этому множеству (напр., в случае отрезка [img: http://localhost:8080/file/010310-215.jpg]), так и не принадлежать ему (напр., в случае интервала [img: http://localhost:8080/file/010310-216.jpg]). Если в нек-ром множестве существует наибольшее (наименьшее) число, то оно, очевидно, и является в. г. (н. г.) этого множества. В. г. (н. г.) не ограниченного сверху (снизу) множества наз. символ [img: http://localhost:8080/file/010310-217.jpg] (соответственно символ [img: http://localhost:8080/file/010310-218.jpg]). Если N - множество натуральных чисел: [img: http://localhost:8080/file/010311-1.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-2.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010311-3.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010311-4.jpg] множество всех целых чисел, положительных и отрицательных, то [img: http://localhost:8080/file/010311-5.jpg] Всякое непустое множество действительных чисел имеет и притом единственную в. г. (н. г.) конечную или бесконечную. При этом всякое ограниченное сверху непустое множество имеет конечную в. г., а всякое ограниченное снизу - конечную н. г. Иногда в. г. (н. г.) множества наз. его точной верхней (нижней) гранью, понимая в этом случае под термином в. г. (н. г.) множества любое число, ограничивающее его сверху (снизу). Реже, вместо термина в. г. (н. г.) множества, в том или ином из вышеуказанных смыслов, употребляется термин верхняя (нижняя) граница множества. В. г. (н. г.) функции, принимающей действительные значения, в частности последовательности действительных чисел, называют в. г. (н. г.) множества ее значений.