Весовое пространство

конечномерное пространство [img: http://localhost:8080/file/010311-86.jpg], удовлетворяющее условию: если [img: http://localhost:8080/file/010311-87.jpg] - Ли алгебра над полем [img: http://localhost:8080/file/010311-88.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010311-89.jpg] - ее представление в V, то существует такая функция [img: http://localhost:8080/file/010311-92.jpg], что для любых [img: http://localhost:8080/file/010311-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-91.jpg] при нек-ром целом [img: http://localhost:8080/file/010311-93.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/010311-94.jpg] наз. весом. Тензорное произведение [img: http://localhost:8080/file/010311-95.jpg] представлений [img: http://localhost:8080/file/010311-96.jpg] алгебры Lв В. п. [img: http://localhost:8080/file/010311-97.jpg] принадлежащих весам [img: http://localhost:8080/file/010311-98.jpg] соответственно, является представлением Lв пространстве [img: http://localhost:8080/file/010311-99.jpg] к-рое также оказывается В. п. и принадлежит весу i [img: http://localhost:8080/file/010311-100.jpg] При переходе от представления р к контраградиентному представлению [img: http://localhost:8080/file/010311-101.jpg] пространство Vзаменяется на сопряженное пространство [img: http://localhost:8080/file/010311-102.jpg], а вес [img: http://localhost:8080/file/010311-103.jpg] переходит в вес - [img: http://localhost:8080/file/010311-104.jpg]. Е. Н. Кузьмин. ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных уравнений- явление перехода нек-рого решения нелинейного уравнения в несколько решений (или полное его исчезновение) при малых изменениях параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010311-105.jpg] с (не обязательно числовым) параметром [img: http://localhost:8080/file/010311-106.jpg] имеет при фиксированном значении [img: http://localhost:8080/file/010311-107.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/010311-108.jpg]. Тогда при значениях [img: http://localhost:8080/file/010311-109.jpg], близких к [img: http://localhost:8080/file/010311-110.jpg], уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений [img: http://localhost:8080/file/010311-111.jpg], близких к [img: http://localhost:8080/file/010311-112.jpg]. В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения [img: http://localhost:8080/file/010311-113.jpg],а пара [img: http://localhost:8080/file/010311-114.jpg] наз. точкой ветвления у равнения (*). Пример: Уравнение [img: http://localhost:8080/file/010311-115.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010311-116.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010311-117.jpg] - комплексные переменные, имеет точку ветвления [img: http://localhost:8080/file/010311-118.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-119.jpg] ибо существует двузначное решение [img: http://localhost:8080/file/010311-120.jpg] т. е. решение [img: http://localhost:8080/file/010311-121.jpg] (при [img: http://localhost:8080/file/010311-122.jpg]) разветвляется при малых [img: http://localhost:8080/file/010311-123.jpg] на два малых нетривиальных решения. Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010311-124.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010311-125.jpg] - комплексные банаховы пространства, [img: http://localhost:8080/file/010311-126.jpg] - комплексное переменное, а [img: http://localhost:8080/file/010311-127.jpg] - нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной [img: http://localhost:8080/file/010311-128.jpg] в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010311-129.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010311-130.jpg] отображающий [img: http://localhost:8080/file/010311-131.jpg] в окрестность нуля пространства E2 п такой, что [img: http://localhost:8080/file/010311-132.jpg] - Фредгольма оператор. Задача состоит в том, чтобы найти в шаре [img: http://localhost:8080/file/010311-133.jpg] достаточно малого радиуса rвсе решения уравнения (*), непрерывные при [img: http://localhost:8080/file/010311-134.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-135.jpg] также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения [img: http://localhost:8080/file/010311-136.jpg] по параметру [img: http://localhost:8080/file/010311-137.jpg]. Если существует обратный оператор [img: http://localhost:8080/file/010311-138.jpg], то задача имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/010311-139.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010311-140.jpg] Если же [img: http://localhost:8080/file/010311-141.jpg], не существует, то нуль-пространство [img: http://localhost:8080/file/010311-142.jpg] оператора Вимеет размерность [img: http://localhost:8080/file/010311-143.jpg]. В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Робозначен проектор [img: http://localhost:8080/file/010311-144.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010311-145.jpg], а через [img: http://localhost:8080/file/010311-146.jpg] - проектор [img: http://localhost:8080/file/010311-147.jpg] на область значений оператора В, где I - тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы [img: http://localhost:8080/file/010311-148.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-149.jpg] Из первого уравнения системы определяется неявный оператор [img: http://localhost:8080/file/010311-150.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-151.jpg] В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение [img: http://localhost:8080/file/010311-152.jpg] для определения [img: http://localhost:8080/file/010311-153.jpg]; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре [img: http://localhost:8080/file/010311-154.jpg] достаточно малого радиуса rвсех решений [img: http://localhost:8080/file/010311-155.jpg] уравнения разветвления, непрерывных при [img: http://localhost:8080/file/010311-156.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010311-157.jpg] достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-ставимо в виде [img: http://localhost:8080/file/010311-158.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-159.jpg] - нек-рое решение уравнения разветвления. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010311-160.jpg] - аналитический оператор в [img: http://localhost:8080/file/010311-161.jpg]. Выбор базисов в и-мерных подпространствах [img: http://localhost:8080/file/010311-162.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010311-163.jpg] позволяет записать уравнение разветвления в виде системы [img: http://localhost:8080/file/010311-164.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010311-165.jpg] - аналитич. функции в точке [img: http://localhost:8080/file/010311-166.jpg] причем все частные производные [img: http://localhost:8080/file/010311-167.jpg] обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы п др. методов (см. [3] - [5]). При n=1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все ени представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности [img: http://localhost:8080/file/010311-168.jpg]; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б). Для того чтобы имел место случай б), достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010311-169.jpg] было изолированным решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/010311-170.jpg] В случае б) решения удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде [img: http://localhost:8080/file/010311-171.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010311-172.jpg] - коэффициенты, подлежащие определению, а возможные значения рмогут быть предварительно найдены с помощью уравнения разветвления. Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной системе для нахождения [img: http://localhost:8080/file/010311-173.jpg] При этом получаются задачи вида [img: http://localhost:8080/file/010311-174.jpg] и каждое xk определяется с точностью до ппроизвольных постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости последующих уравнений. Все полученные ряды сходятся в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010311-175.jpg]. Оценка снизу радиуса окрестности может быть получена с помощью построения мажорант (см. [6]). Для того чтобы имел место случай в), необходимо, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010311-176.jpg] было неизолированным решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/010311-177.jpg]. Здесь применение метода неопределенных коэффициентов может привести к расходящимся рядам (формальным решениям). Если задача инвариантна относительно непрерывной группы линейных операторов в [img: http://localhost:8080/file/010311-178.jpg], то в ряде случаев использование групповых соображений позволяет уменьшить число уравнений и неизвестных в уравнении разветвления и тем самым упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см. [7], [8]).. Уравнение [img: http://localhost:8080/file/010311-179.jpg] может иметь также решения, определенные лишь при [img: http://localhost:8080/file/010311-180.jpg] Эти решения возможны только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010311-181.jpg] - неизолированное решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/010311-182.jpg] они находятся при помощи уравнения разветвления при [img: http://localhost:8080/file/010311-183.jpg] Определение всех его многопараметрич. семейств решений приводит к определению всех решений уравнения (*) с [img: http://localhost:8080/file/010311-184.jpg] В случае вещественных пространств [img: http://localhost:8080/file/010311-185.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010311-186.jpg] уравнение разветвления изучается в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые из них могут оказаться определенными в полуокрестностях точки [img: http://localhost:8080/file/010311-187.jpg] Изложенная методика частично применима также в случаях, когда [img: http://localhost:8080/file/010311-188.jpg] - достаточно гладкий оператор, В - нётеров оператор, а параметр [img: http://localhost:8080/file/010311-189.jpg] - элемент еще одного банахова пространства Е(точки ветвления могут заполнять в Елинии и поверхности). Этим же способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача отыскания больших решений (уравнение (*) может иметь решения [img: http://localhost:8080/file/010311-190.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010311-191.jpg]), задача ветвления собственных значений и собственных элементов линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай, когда [img: http://localhost:8080/file/010311-192.jpg] исследовался также топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве. В этом круге вопросов значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., задачи для дифференциальных уравнений с вырождением (см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных волнах (см. [11]).