Ветвящийся процесс с диффузией

модель ветвящегося процесса, в к-ром размножающиеся частицы диффундируют в к.-л. области G. Пусть область G r -мерна, ее граница дG - поглощающая, и в самой области частицы независимо друг от друга совершают броуновское движение. Каждая частица в области Gза время [img: http://localhost:8080/file/010312-11.jpg] независимо от других частиц с вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010312-12.jpg] превращается в пчастиц, к-рые независимо друг от друга начинают свою эволюцию из точки их рождения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010312-13.jpg] - производящая функция [img: http://localhost:8080/file/010312-14.jpg] - число частиц в множестве [img: http://localhost:8080/file/010312-15.jpg] в момент [img: http://localhost:8080/file/010312-16.jpg], если в начальный момент была одна частица в точке [img: http://localhost:8080/file/010312-17.jpg]. Производящий функционал [img: http://localhost:8080/file/010312-18.jpg] удовлетворяет квазилинейному параболич. уравнению [img: http://localhost:8080/file/010312-19.jpg] с начальным условием [img: http://localhost:8080/file/010312-20.jpg] и граничным условием [img: http://localhost:8080/file/010312-21.jpg] Обозначим [img: http://localhost:8080/file/010312-22.jpg] собственные значения, [img: http://localhost:8080/file/010312-23.jpg] - соответствующую [img: http://localhost:8080/file/010312-24.jpg] собственную функцию задачи [img: http://localhost:8080/file/010312-25.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010312-26.jpg] имеет место асимптотика [img: http://localhost:8080/file/010312-27.jpg] в соответствии с к-рой процесс наз. докритическим при [img: http://localhost:8080/file/010312-28.jpg], критическим при [img: http://localhost:8080/file/010312-29.jpg] и надкритическим при [img: http://localhost:8080/file/010312-30.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010312-31.jpg] В. п. с д. вырождается с вероятностью 1, а при [img: http://localhost:8080/file/010312-32.jpg] с положительной вероятностью [img: http://localhost:8080/file/010312-33.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010312-34.jpg]. В зависимости от критичности В. п. с д. имеют место предельные теоремы, аналогичные теоремам для ветвящихся процессов без диффузии.