Винера - хопфа уравнение

интегральное уравнение на пол'упрямой с ядром, зависящим от разности аргументов: [img: http://localhost:8080/file/010313-127.jpg] Уравнения такого типа часто возникают в задачах математич. физики, напр, в теории переноса излучения (проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на полуплоскости, задача береговой рефракции). Впервые исследования уравнения (1) были проведены в работах [1] и [2], где был развит метод факторизации (см. Винера-Хопфа метод). Именно идея факторизации явилась решающей для построения теории интегральных уравнений вида (1). В. -X. у. в предположении четности и экспоненциального убывания ядра [img: http://localhost:8080/file/010313-128.jpg] рассматривались в [3]. Формальная схема решения В. - Х. у. состоит в следующем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010313-129.jpg] тогда уравнение (1) можно записать на всей бесконечной прямой: [img: http://localhost:8080/file/010313-130.jpg] Если выполнены условия, при к-рых существует преобразование Фурье всех функций, входящих в уравнение (2): [img: http://localhost:8080/file/010313-131.jpg] то с помощью преобразования Фурье уравнение (2) сводится к функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010313-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-133.jpg] - неизвестные функции. Метод Винера - Хопфа позволяет решить уравнение (3) для определенного класса функций. При этом обязательно должно выполняться условие: [img: http://localhost:8080/file/010313-134.jpg] Для несимметричного ядра в теории уравнения (1) особую роль играет индекс уравнения: [img: http://localhost:8080/file/010313-135.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010313-136.jpg] то: при [img: http://localhost:8080/file/010313-137.jpg] неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение; при [img: http://localhost:8080/file/010313-138.jpg] однородное уравнение (1) имеет v линейно независимых решений; при [img: http://localhost:8080/file/010313-139.jpg] неоднородное уравнение (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное) решение при условии: [img: http://localhost:8080/file/010313-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-141.jpg] - линейно независимые решения транспонированного однородного уравнения (1) [img: http://localhost:8080/file/010313-142.jpg]