Винеровский процесс

однородный гауссов-ский процесс X(t) с независимыми приращениями. В. п. служит одной из математич. моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием В. п. может быть превращен в "стандартный" В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-143.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010313-144.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010313-145.jpg] при таких средних значениях и дисперсиях приращений это единственный непрерывный с вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями. Ниже под В. п. будет пониматься именно этот процесс. В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-146.jpg] определяется также как гаус-совский случайный процесс с нулевым математич. ожиданием и корреляционной функцией [img: http://localhost:8080/file/010313-147.jpg] В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-148.jpg] может быть определен как однородный марковский процесс с переходной функцией [img: http://localhost:8080/file/010313-149.jpg] где переходная плотность [img: http://localhost:8080/file/010313-150.jpg] есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010313-151.jpg] и описывается формулой [img: http://localhost:8080/file/010313-152.jpg] Переходная функция [img: http://localhost:8080/file/010313-153.jpg] инвариантна относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве: [img: http://localhost:8080/file/010313-154.jpg] где Г - уобозначает множество [img: http://localhost:8080/file/010313-155.jpg] В. п. является непрерывным аналогом случайного блуждания частицы, к-рая в дискретные моменты времени [img: http://localhost:8080/file/010313-156.jpg] (кратные [img: http://localhost:8080/file/010313-157.jpg]) в результате случайного воздействия каждый раз независимо от предшествующих обстоятельств смещается на величину [img: http://localhost:8080/file/010313-158.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-159.jpg] точнее, если при [img: http://localhost:8080/file/010313-161.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-160.jpg] - случайная траектория движения такой частицы на отрезке [0, 1] (здесь [img: http://localhost:8080/file/010313-162.jpg] - целая часть nt, [img: http://localhost:8080/file/010313-163.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010313-164.jpg]), а [img: http://localhost:8080/file/010313-165.jpg] - соответствующее распределение вероятностей в пространстве непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/010313-166.jpg] то распределение вероятностей [img: http://localhost:8080/file/010313-167.jpg] траектории В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-168.jpg] является предельным (в смысле слабой сходимости) для распределений [img: http://localhost:8080/file/010313-169.jpg] Как функция со значениями в гильбертовом пространстве. [img: http://localhost:8080/file/010313-170.jpg] всех случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010313-171.jpg] в к-ром скалярное произведение определено формулой [img: http://localhost:8080/file/010313-172.jpg] В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-173.jpg] допускает следующее каноническое представление: [img: http://localhost:8080/file/010313-174.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-175.jpg] - независимые гауссовские величины: [img: http://localhost:8080/file/010313-176.jpg] - собственные функции оператора В, определенного формулой: [img: http://localhost:8080/file/010313-177.jpg] в гильбертовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010313-178.jpg] всех интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры) функций [img: http://localhost:8080/file/010313-179.jpg] на отрезке [0, 1]. Для почти всех траекторий В. п, имеют место следующие соотношения: [img: http://localhost:8080/file/010313-180.jpg] - закон повторного логарифма; [img: http://localhost:8080/file/010313-181.jpg] что характеризует модуль непрерывности на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010313-182.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/010313-183.jpg] В применении к В. п. вида [img: http://localhost:8080/file/010313-184.jpg] закон повторного логарифма записывается в форме: [img: http://localhost:8080/file/010313-185.jpg] Характер смещения броуновской частицы за конечное время tможет быть описан с помощью распределения вероятностей максимума [img: http://localhost:8080/file/010313-186.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010313-187.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-188.jpg] фиксировано, [img: http://localhost:8080/file/010313-189.jpg] а также с помощью распределения времени т первого достижения броуновской частицей фиксированной точки [img: http://localhost:8080/file/010313-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-191.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-192.jpg] фиксировано, [img: http://localhost:8080/file/010313-193.jpg] (закономерности В. п. остаются без изменения при преобразовании фазового пространства [img: http://localhost:8080/file/010313-194.jpg]). Совместное распределение точки максимума [img: http://localhost:8080/file/010313-195.jpg] и самого максимума шах [img: http://localhost:8080/file/010313-196.jpg] имеет плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/010313-197.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010313-198.jpg] а отдельно взятая точка [img: http://localhost:8080/file/010313-199.jpg] (с вероятностью 1 имеется лишь один максимум на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010313-200.jpg]) распределена по арксинуса закону. [img: http://localhost:8080/file/010313-201.jpg] с плотностью вероятности [img: http://localhost:8080/file/010313-202.jpg] Из приведенных выше формул легко выводятся следующие характерные свойства В. п. Броуновская траектория является нигде не дифференцируемой, причем при выходе из к.-л. точки хэта траектория за сколь угодно малое время [img: http://localhost:8080/file/010313-203.jpg] с вероятностью 1 бесконечно много раз пересекает "уровень" х(возвращаясь в исходную точку); с течением времени tброуновская траектория обходит все точки х, точнее [img: http://localhost:8080/file/010313-204.jpg], с вероятностью 1 (при этом вероятное значение [img: http://localhost:8080/file/010313-205.jpg] для больших химеет порядок x2); рассматриваемая на фиксированном отрезке [0, t], эта траектория имеет тенденцию достигать экстремальных значений вблизи концевых точек s=0 и s=t. Для В. п. как марковского однородного процесса существует инвариантная мера [img: http://localhost:8080/file/010313-206.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010313-207.jpg] к-рая в силу упомянутого выше свойства инвариантности переходной функции [img: http://localhost:8080/file/010313-208.jpg] совпадает с лебеговской мерой на прямой: [img: http://localhost:8080/file/010313-209.jpg] Время [img: http://localhost:8080/file/010313-210.jpg], проведенное броуновской частицей в множестве Аза промежуток от 0 до Т, таково, что с вероятностью 1 [img: http://localhost:8080/file/010313-211.jpg] для любых ограниченных борелевских множеств [img: http://localhost:8080/file/010313-212.jpg]. Аналогом В. п. [img: http://localhost:8080/file/010313-213.jpg] для векторного параметра [img: http://localhost:8080/file/010313-214.jpg] являются случайные поля, введенные П. Леви (P. Levy, см. [31).