Виноградова метод

- новый метод оценок три-гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод). В. м. позволяет получить очень точные оценки для широкого класса тригонометрич. сумм, в к-рых переменная суммирования пробегает значения последовательных целых чисел, последовательных простых чисел и т. д., что, в свою очередь, дает возможность решить целый ряд классич. проблем аналитич. теории чисел (распределение дробных долей широкого класса функций, распределение простых чисел в натуральном ряде, аддитивные проблемы, частными случаями к-рых являются проблемы Варинга и Гольдбаха, и др.). Различают две части В. м.: метод оценок Вейля сумм и метод оценок тригонометрич. сумм с простыми числами. Обе части метода используют основную идею И. М. Виноградова - идею сглаживания двойной тригонометрич. суммы, к-рая состоит в следующем. Пусть дана сумма [img: http://localhost:8080/file/010313-232.jpg] где переменные суммирования и п и пробегают значения целых чисел (не обязательно последовательные) в количестве, соответственно, [img: http://localhost:8080/file/010313-233.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010313-234.jpg] - произвольные комплекснозначные функции. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010313-235.jpg] где ипробегает последовательные целые числа интервала [img: http://localhost:8080/file/010313-236.jpg] (сглаживание), [img: http://localhost:8080/file/010313-237.jpg] В. м. оценок сумм Вейля. Оцениваются суммы [img: http://localhost:8080/file/010313-238.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-239.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010313-240.jpg] -действительные числа. При [img: http://localhost:8080/file/010313-241.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/010313-242.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-243.jpg] а буквой Wобозначена двойная сумма по хи у, и [img: http://localhost:8080/file/010313-244.jpg] Далее, обозначив [img: http://localhost:8080/file/010313-245.jpg] выражение [img: http://localhost:8080/file/010313-246.jpg] при любых [img: http://localhost:8080/file/010313-247.jpg] из области [img: http://localhost:8080/file/010313-248.jpg] При любом целом [img: http://localhost:8080/file/010313-249.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010313-250.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010313-251.jpg] - максимальное число совпадений точек с координатами [img: http://localhost:8080/file/010313-252.jpg] причем фигурные скобки обозначают дробную часть числа, а уменяется в пределах от 1 до Y, и, [img: http://localhost:8080/file/010313-253.jpg] При определенных арифметич. свойствах коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010313-254.jpg] многочлена f(x).для величины G(Y).можно получить оценку [img: http://localhost:8080/file/010313-255.jpg] Кроме того, последний интеграл не превосходит числа решений системы уравнений: [img: http://localhost:8080/file/010313-256.jpg] Для оценки числа решений этой системы используется Виноградова теорема о среднем, к-рая является основной в В. м. оценок сумм Вейля (см. Виноградова оценки). В. м. оценок тригонометрических сумм спростыми числами. Оцениваются суммы [img: http://localhost:8080/file/010313-257.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010314-1.jpg] - действительные числа. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010314-2.jpg] С помощью известного свойства функции Мебиуса [img: http://localhost:8080/file/010314-3.jpg] сводится к небольшому числу сумм (это число не превосходит [img: http://localhost:8080/file/010314-4.jpg]) вида [img: http://localhost:8080/file/010314-5.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010314-6.jpg] В кратной сумме [img: http://localhost:8080/file/010314-7.jpg] переменные [img: http://localhost:8080/file/010314-8.jpg] пробегают сплошные интервалы суммирования. Те суммы [img: http://localhost:8080/file/010314-9.jpg], в к-рых интервал суммирования хотя бы по одной переменной тдлинный, оцениваются с помощью В. м. оценок сумм Вейля. В противном случае длинным будет интервал суммирования по одной из переменных суммирования [img: http://localhost:8080/file/010314-10.jpg]. Тогда применяется следующая лемма И. М. Виноградова, к-рая вместе с идеей сглаживания двойных сумм является основной в В. м. оценок тригонометрич. сумм с простыми числами. Лемма. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010314-11.jpg] и D - произведение всех простых чисел, не превосходящих [img: http://localhost:8080/file/010314-12.jpg], тогда все делители dчисла D, не превосходящие х, можно распределить среди менее чем [img: http://localhost:8080/file/010314-13.jpg] совокупностей со следующими свойствами: а) числа d, принадлежащие одной совокупности, обладают одним и тем же числом [img: http://localhost:8080/file/010314-14.jpg] простых сомножителей и, следовательно, одним и тем же значением [img: http://localhost:8080/file/010314-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-16.jpg]; б) одна из совокупностей, к-рая наз. простейшей, состоит из одного числа d=1. Для каждой из остальных совокупностей имеется свое [img: http://localhost:8080/file/010314-17.jpg] такое, что все числа этой совокупности удовлетворяют условию [img: http://localhost:8080/file/010314-18.jpg] в) для всякой совокупности, отличной от простейшей, при любом [img: http://localhost:8080/file/010314-19.jpg] с условием [img: http://localhost:8080/file/010314-20.jpg] существуют две совокупности чисел d:числа [img: http://localhost:8080/file/010314-21.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010314-22.jpg] с отвечающими им числами [img: http://localhost:8080/file/010314-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010314-24.jpg], к-рые удовлетворяют условиям [img: http://localhost:8080/file/010314-25.jpg] такие, что при нек-ром натуральном Ввсе числа выбранной совокупности, каждое Враз получим, если из всех произведений [img: http://localhost:8080/file/010314-26.jpg] выберем лишь удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/010314-27.jpg] Применяя пункт в) этой леммы с надлежащим значением U, получают [img: http://localhost:8080/file/010314-28.jpg] где переменные ии vпробегают длинные интервалы суммирования. Из этой леммы может быть выведена оценка И. М. Виноградова тригонометрич. суммы с простыми числами (см. Виноградова оценки). Если [img: http://localhost:8080/file/010314-29.jpg] в определенном смысле хорошо приближается многочленом, то В. м. позволяет оценивать суммы вида [img: http://localhost:8080/file/010314-30.jpg] (см. [2], [4]). Кроме того, В. м. позволяет оценивать суммы вида [img: http://localhost:8080/file/010314-31.jpg] и т. п. Это дает возможность решать проблемы распределения степенных вычетов, первообразных корней и др. в последовательностях вида [img: http://localhost:8080/file/010314-32.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010314-33.jpg] - фиксированное целое число, а рпринимает значения последовательных простых чисел (см. [3], [5]). О применениях В. м. в аналитич. теории чисел см. [1], [2], [4], [5], [6].