Витали вариация

- одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010314-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-120.jpg] задана на re-мерном параллелепипеде [img: http://localhost:8080/file/010314-121.jpg] Введем обозначения [img: http://localhost:8080/file/010314-122.jpg] Пусть П - произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями [img: http://localhost:8080/file/010314-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-124.jpg] пна n-мерные параллелепипеды. Обозначим через [img: http://localhost:8080/file/010314-125.jpg] точную верхнюю грань сумм вида [img: http://localhost:8080/file/010314-126.jpg] взятую по всевозможным разбиениям П. Если [img: http://localhost:8080/file/010314-127.jpg], то говорят, что функция [img: http://localhost:8080/file/010314-128.jpg] имеет ограниченную (конечную) вариацию Витали на [img: http://localhost:8080/file/010314-129.jpg], а класс всех таких функций обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010314-130.jpg] или просто через V. Этот класс был определен Дж. Витали [1]. Позже это же определение вариации было предложено А. Лебегом [2] и М. Фреше [3]. Действительнозначная функция [img: http://localhost:8080/file/010314-131.jpg], заданная на [img: http://localhost:8080/file/010314-132.jpg], принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/010314-133.jpg] тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010314-134.jpg] где функции [img: http://localhost:8080/file/010314-135.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010314-136.jpg] таковы, что для каждой из них суммы вида (*), взятые без знака модуля, неотрицательны [4] (аналог Жордана разложения функции ограниченной вариации одного переменного). С помощью функций класса [img: http://localhost:8080/file/010314-137.jpg] вводится многомерный интеграл Стилтьеса. В частности, для любой непрерывной на [img: http://localhost:8080/file/010314-138.jpg] функции g(x).и любой функции / (х) из класса [img: http://localhost:8080/file/010314-139.jpg] существует интеграл [img: http://localhost:8080/file/010314-140.jpg]