Витта вектор

- элемент алгебраич. конструкции, впервые предложенной Э. Впттом в 1936 [1] в связи с описанием неразветвленных расширений полей р-адических чисел. Позже В. в. были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной характеристики (см. [3]), а также в теории коммутативных алгебраических групп (см. [4], [5]) и в теории формальных групп (см. [6]). Пусть А - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Векторами Витта с компонентами в Аназ. бесконечные последовательности [img: http://localhost:8080/file/010314-168.jpg] к-рые складываются и перемножаются по следующим правилам: [img: http://localhost:8080/file/010314-169.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010314-170.jpg] - многочлены от переменных Х 0,..., ХД, [img: http://localhost:8080/file/010314-171.jpg] с целыми коэффициентами, однозначно определяемые условиями [img: http://localhost:8080/file/010314-172.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010314-173.jpg] - многочлены, [img: http://localhost:8080/file/010314-174.jpg] - простое число. В частности, [img: http://localhost:8080/file/010314-175.jpg] В. в. с введенными выше операциями образуют кольцо, наз. кольцом векторов Витта и обозначаемое [img: http://localhost:8080/file/010314-176.jpg]. Для любого натурального попределено также кольцо [img: http://localhost:8080/file/010314-177.jpg] усеченных векторов Витта длины n. Элементы этого кольца являются конечными наборами [img: http://localhost:8080/file/010314-178.jpg] с операциями сложения и умножения, приведенными выше. Канонич. отображения: [img: http://localhost:8080/file/010314-179.jpg] являются гомоморфизмами. Сопоставление [img: http://localhost:8080/file/010314-180.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010314-181.jpg]) определяет ковариантный функтор из категории коммутативных колец с единицей в категорию колец. Этот функтор представим кольцом многочленов [img: http://localhost:8080/file/010314-182.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010314-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-184.jpg]), на к-ром определена структура кольцевого объекта. Спектр [img: http://localhost:8080/file/010314-185.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010314-186.jpg]) наз. схемой Витта (соответственно усеченной схемой Витта) и является кольцевой схемой [3]. Каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010314-187.jpg] определяет В. в. [img: http://localhost:8080/file/010314-188.jpg] наз. представлением Тейхмюллера элемента а. Если [img: http://localhost:8080/file/010314-189.jpg] - совершенное поле характеристики [img: http://localhost:8080/file/010314-190.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010314-191.jpg] является полным кольцом дискретного нормирования характеристики нуль с полем вычетов kп максимальным идеалом [img: http://localhost:8080/file/010314-192.jpg]. При этом каждый элемент [img: http://localhost:8080/file/010314-193.jpg] однозначно записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/010314-194.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010314-195.jpg]. Наоборот, каждое такое кольцо Ас полем вычетов [img: http://localhost:8080/file/010314-196.jpg] канонически изоморфно кольцу [img: http://localhost:8080/file/010314-197.jpg] Представление Тейхмюллера позволяет построить канонический мультипликативный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010314-198.jpg], расщепляющий отображение [img: http://localhost:8080/file/010314-199.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010314-200.jpg] - простое поле из рэлементов, то есть кольцо целых р-адических чисел [img: http://localhost:8080/file/010314-201.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010314-202.jpg].