Витта разложение

векторного пространства - разложение пространства в прямую сумму трех подпространств, обладающих определенными свойствами. Точнее, пусть V - векторное пространство над полем kхарактеристики, отличной от двух, наделенное метрич. структурой с помощью симметрической или знакопеременной билинейной формы f. Прямое разложение [img: http://localhost:8080/file/010315-1.jpg] наз. В. р. пространства [img: http://localhost:8080/file/010315-2.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010315-3.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010315-4.jpg] вполне изотропны, a Dнеизотропно и ортогонально [img: http://localhost:8080/file/010315-5.jpg] относительно f. В. р. играет важную роль в изучении структуры формы f и в вопросах классификации билинейных форм. Пусть f - невырожденная билинейная форма и V - конечномерно. Тогда любое максимальное вполне изотропное подпространство в Vможет быть включено в В. р. пространства Vв качестве [img: http://localhost:8080/file/010315-6.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/010315-7.jpg]). Для всякого В. р. [img: http://localhost:8080/file/010315-8.jpg] и для любого базиса [img: http://localhost:8080/file/010315-9.jpg] существует такой базис [img: http://localhost:8080/file/010315-10.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010315-11.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010315-12.jpg] (dij- символы Кронекера). Для любых двух В. р. [img: http://localhost:8080/file/010315-13.jpg] условие [img: http://localhost:8080/file/010315-14.jpg] необходимо и достаточно для того, чтобы существовал такой метрич. автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010315-15.jpg] пространства V, что [img: http://localhost:8080/file/010315-16.jpg] Невырожденная билинейная симметрическая или знакопеременная форма f на Vназ. нейтральной, если Vконечномерно и обладает В. р. с D= 0. Симметрическая форма в этом случае наз. гиперболической формой, а V - гиперболическим пространством. Ортогональная прямая сумма нейтральных форм нейтральна. Матрица нейтральной формы (в описанном выше базисе [img: http://localhost:8080/file/010315-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010315-18.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/010315-19.jpg]) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010315-20.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010315-21.jpg] - единичная матрица порядка [img: http://localhost:8080/file/010315-22.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010315-23.jpg] =1 для симметрической формы и - 1 для знакопеременной. Нейтральные формы изометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Класс нейтральных симметрических билинейных форм является нулем (т. е. нейтральным элементом по сложению) в Витта кольце поля k. Нейтральные формы и только они имеют индекс Витта, равный [img: http://localhost:8080/file/010315-24.jpg]. Знакопеременная форма на конечномерном пространстве нейтральна. Если f - невырожденная симметрическая билинейная форма на конечномерном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010315-25.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010315-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010315-27.jpg] -В. р., в котором [img: http://localhost:8080/file/010315-28.jpg] и равно индексу Витта формы f, то сужение f на Dявляется определённой, или анизотропной, билинейной формой, т. е. такой, что [img: http://localhost:8080/file/010315-29.jpg] для любого ненулевого [img: http://localhost:8080/file/010315-30.jpg]. Эта форма не зависит (с точностью до изометрии) от выбора В. р. на V. В множестве определенных билинейных форм можно ввести операцию сложения, превращающую его в абелеву группу - группу Витта поля k(см. Витта кольцо). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010315-31.jpg] - такие базисы в [img: http://localhost:8080/file/010315-32.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010315-33.jpg] объединяя эти базисы с произвольным базисом в D, получают базис в V, в к-ром матрица формы f имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010315-34.jpg] Для симметрических билинейных форм существует ортогональный базис в V, т. е. такой, в к-ром матрица формы диагональна. Если поле kалгебраически замкнуто, то найдется даже ортонормировании и базис (базис, в к-ром матрица формы является единичной), поэтому невырожденные симметрические билинейные формы конечного ранга над kизометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. В общем случае классификация таких форм существенно зависит от арифметич. свойств поля k. Изучение и классификация вырожденных симметрических и знакопеременных билинейных форм сводится к изучению невырожденных форм (сужение формы на подпространство, дополнительное к ядру формы). Все изложенное допускает обобщение на случай е-эрмитовых форм над телом, обладающих свойством (Т).(см. Витта теорема), а также на случай симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратичной формой, без ограничений на характеристику поля.