Витта теорема

всякая изометрня между двумя подпространствами F1 и F2 конечномерного векторного пространства V, определенного над полем kхарактеристики, отличной от двух, и наделенного метрич. структурой с помощью невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формы f, может быть продолжена до метрич. автоморфизма всего пространства V. Впервые эта теорема получена Э. Вит-том [1]. В. т. может быть доказана и в более широких предположениях на kи f (см. [2], [3]). А именно, утверждение теоремы остается в силе, если k - тело, V - левый конечномерный k-модуль, а f - невырожденная [img: http://localhost:8080/file/010315-35.jpg] -эрмитова форма (относительно нек-рого фиксированного инволютивного антиавтоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010315-36.jpg] тела k), удовлетворяющая условию: для всякого [img: http://localhost:8080/file/010315-37.jpg] найдется такой элемент [img: http://localhost:8080/file/010315-38.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010315-39.jpg] (свойство (Т)). Свойство (Т).выполняется, напр., когда f - эрмитова форма и характеристика kотлична. от двух, или когда f - знакопеременная форма. В. т. справедлива также, если k - поле, а f - симметрическая билинейная форма, ассоциированная с невырожденной квадратичной формой Q на V. Из В. т. следует, что группа метрич. автоморфизмов пространства Vтранзитивно переставляет вполне изотропные подпространства одинаковой размерности и что все максимальные вполне изотропные подпространства в Vимеют одну и ту же размерность (индекс Витта формы f). Другое следствие В. т.: классы изометрии невырожденных симметрических билинейных форм конечного ранга над kотносительно взятия ортогональной прямой суммы образуют моноид с сокращением; каноническое отображение этого моноида в его Гротендика группу инъективно. Группа WG(k) наз. группой Витта - Гротендика WG(k).поля k;тензорное произведение форм индуцирует на ней структуру кольца, к-рое наз. кольцом Витта - Гротендика поля k(см. [7]). О других приложениях В. т. см. Витта разложение, Витта кольцо.