Вихрь

ротор, векторного поля [img: http://localhost:8080/file/010315-47.jpg] - векторная "вращательная составляющая" этого поля. Если [img: http://localhost:8080/file/010315-48.jpg] - поле скоростей частиц движущейся непрерывной среды, то В. равен половине угловой скорости частицы. В. обозначается [img: http://localhost:8080/file/010315-49.jpg] (иногда - [img: http://localhost:8080/file/010315-50.jpg]). В декартовых прямоугольных координатах х, у, z В. определяется выражением: [img: http://localhost:8080/file/010315-51.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010315-52.jpg] - компоненты [img: http://localhost:8080/file/010315-53.jpg]. Линия в пространстве, в каждой точке к-рой в данный момент времени В. лежит на касательной прямой, наз. вихревой линией. Всякая поверхность, на к-рой расположено семейство вихревых линий, зависящее от одного параметра, наз. вихревой поверхностью. Частным, но весьма важным примером вихревых поверхностей являются вихревые трубки, к-рые образуются вихревыми линиями, выходящими из всех точек какой-нибудь замкнутой кривой. Если эта кривая бесконечно мала, то образующаяся вихревая поверхность наз. вихревой нитью. Вихревые поверхности наз. также вихревыми слоями, считая слой как бы состоящим из геометрич. поверхности с нанесенной на ней обкладкой из вихревых линий. При пересечении вихревого слоя скорости частиц жидкости испытывают тангенциальный разрыв, пропорциональный В. в соответствующей точке. Основная теорема Гельмгольца в гидродинамике заключается в том, что если объемные силы имеют потенциал, то при течении однородной, идеальной несжимаемой жидкости или баротропного газа частицы среды, расположенные в нек-рый момент времени на вихревой линии, будут и во все последующее время располагаться на вихревой линии. Таким образом, с течением времени сохраняются вихревые поверхности и, в частности, вихревые трубки и нити. Каждая вихревая трубка может быть охарактеризована нек-рым числом, наз. напряженностью трубки, и равным потоку вектора В. через произвольным образом проведенное сечение трубки. Это число не зависит от формы поперечного сечения, так как [img: http://localhost:8080/file/010315-54.jpg] Оно означает, что вихревая трубка может быть либо замкнутой (вихревое кольцо), либо иметь начало и конец на границах жидкости. С течением времени напряженность вихревой трубки в идеальной жидкости не меняется. Перечисленные свойства вихревых трубок, найденные Г. Гельмгольцем (Н. Helmholtz), получают исключительно простое доказательство с помощью введенного У. Томсоном (W. Thomson) понятия о циркуляции Г скорости [img: http://localhost:8080/file/010315-55.jpg] по замкнутому контуру (L). [img: http://localhost:8080/file/010315-56.jpg] где ds - элемент дуги контура L. Изучение свойств циркуляции скорости приводит к теореме Лагранжа о сохранении с течением времени безвихревого движения. Основной задачей теории В. является определение поля скоростей движения жидкости по заданному полю векторов В. Если область, занятая жидкостью, безгранична во всех направлениях и если область (D), занятая В., ограничена замкнутой вихревой поверхностью, то поле скоростей находится с помощью вектор-потенциала [img: http://localhost:8080/file/010315-57.jpg] по формуле: [img: http://localhost:8080/file/010315-58.jpg] Если же задача состоит в определении скоростей по вихрям в ограниченном пространстве, то решение весьма сложно вследствие необходимости рассматривать интегральные уравнения с особыми ядрами. Полное решение этой задачи в [6], [7]. Для важного частного случая плоскопараллельных движений: [img: http://localhost:8080/file/010315-59.jpg] две компоненты [img: http://localhost:8080/file/010315-60.jpg] В. равны нулю, а третья компонента [img: http://localhost:8080/file/010315-61.jpg] представляет собой весь В., к-рый в данном случае перпендикулярен к плоскости XOY. В пересечении вихревой нити с плоскостью XOY образуется маленькая площадка, наз. вихревой точкой. При наличии в жидкости нескольких вихревых точек возникает движение самих точек благодаря тем скоростям, какие возбуждают в жидкости эти точки. Уравнения движения вихревых точек имеют вид канонич. уравнений механики.