Вкб-метод

- асимптотический метод Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна (и Джефриса) решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/010315-62.jpg] с малым параметром [img: http://localhost:8080/file/010315-63.jpg] при старшей производной. Для построения приближенных решений волнового уравнения Шрёдингера в квантовой механике этот метод был введен в 1926 Л. Брпллюэном (L. Brillouin), Г. Вентцелем (G. Wentzel) и X. Крамерсом (Н. Кга-mers), а также X. Джефрисом (Н. Jeffreys) (подробный историч. очерк н библиографию см. в [5], [6]). Для ВКБ -м. используются и другие названия: "приближение Лиувилля- Грина", "метод фазового интеграла", "квазиклассическое приближение", а также любые комбинации из букв W, К, В (и J). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010315-64.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010315-65.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010315-66.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010315-67.jpg]. Тогда существуют решения уравнения (1) такие, что при [img: http://localhost:8080/file/010315-68.jpg] равномерно по [img: http://localhost:8080/file/010315-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010315-70.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010315-71.jpg] Главный член асимптотич. разложения (2) обычно наз. ВКБ-приближением. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010315-72.jpg] предыдущие условия на q(t).выполнены и [img: http://localhost:8080/file/010315-73.jpg] Тогда существуют решения уравнения (1) такие, что [img: http://localhost:8080/file/010315-74.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010315-75.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010315-76.jpg] достаточно мало, и [img: http://localhost:8080/file/010315-77.jpg] Точка t0 наз. точкой поворота уравнения (1), если [img: http://localhost:8080/file/010315-78.jpg] ВКБ-приближение непригодно в точках поворота. Были получены асимптотич. формулы, справедливые в окрестностях точек поворота (см. [1], [4]). Главный член асимптотики выражается через бесселевы функции. В ряде задач (задача на собственные значения, задача о рассеянии) для уравнения (1) требуется знать асимптотику решений только на концах интервала, т. е. не нужно находить асимптотику в точках поворота. Если q(t) - аналптич. функция, то можно, вообще говоря, продолжить ВКБ-формулы с одного конца интервала I на другой через комплексную плоскость [img: http://localhost:8080/file/010315-79.jpg] (строгое обоснование дано в [2]). Для целых функций [img: http://localhost:8080/file/010315-80.jpg] оказывается, что ВКВ-приближенне (2) пригодно в нек-рых областях комплексной плоскости С (f), ограниченных линиями Стокса (т. е. линиями уровня [img: http://localhost:8080/file/010315-81.jpg] проходящими через точки поворота). Получены асимптотич. формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1), пригодные во всей комплексной плоскости, за исключением окрестностей точек поворота (см. [2]). О ВКБ-приближенин для уравнений с частными производными см. [5], [6], [8] - [10].