Внешняя и внутренняя краевые задачи

краевые задачи (к. з.) для эллиптич. уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) D+ и бесконечной (внешней) D - областях, на к-рые данная замкнутая гладкая поверхность S, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство R.3. Основное отличие внешней к. з. от внутренней состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к краевому условию потребовать от решения определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего единственность решения и являющегося естественным с точки зрения физического происхождения данной задачи. Напр., в случае внешней к. з. для уравнения Пуассона [img: http://localhost:8080/file/010317-3.jpg] (функция f предполагается достаточно гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение и(М).было регулярным на бесконечности, т. е. чтобы [img: http://localhost:8080/file/010317-4.jpg] В случае внешней к. з. для уравнения Пуассона [img: http://localhost:8080/file/010317-5.jpg] в бесконечной плоской области [img: http://localhost:8080/file/010317-6.jpg] условие регулярности на бесконечности сводится к требованию, чтобы решение и (М).было ограниченным на бесконечности: [img: http://localhost:8080/file/010317-7.jpg] В случае внешней к. з. для уравнения Гельмгольца [img: http://localhost:8080/file/010317-8.jpg] требование регулярности на бесконечности оказывается недостаточным для выделения единственного решения и применяется так наз. излучения условие. Для области [img: http://localhost:8080/file/010317-9.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010317-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010317-11.jpg] и для [img: http://localhost:8080/file/010317-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010317-13.jpg] причем знаки здесь выбираются в зависимости от условий задачи и выбора главного фундаментального решения. О других условиях на бесконечности см. Предельного поглощения принцип, Предельной амплитуды принцип. Пусть теперь рассматриваются к. з. для линейного эллиптич. уравнения общего вида [img: http://localhost:8080/file/010317-14.jpg] в областях [img: http://localhost:8080/file/010317-15.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010317-16.jpg] евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010317-17.jpg] выделяемых замкнутой гладкой гиперповерхностью S, гомеоморфной сфере в [img: http://localhost:8080/file/010317-18.jpg], причем функции [img: http://localhost:8080/file/010317-19.jpg] с и f предполагаются достаточно гладкими, f - финитная. Условия регулярности на бесконечности типа (1) или (2) будут достаточны во внешних к. з. соответственно при [img: http://localhost:8080/file/010317-20.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010317-21.jpg] в тех случаях, когда для оператора Lвыполняется принцип максимума и существует одно единственное главное фундаментальное решение; в частности, для этого необходимо [img: http://localhost:8080/file/010317-22.jpg]; см. [1], [2], [3]. Вопрос о применимости условия излучения, принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды в общем виде нельзя считать полностью изученным (1977). Кроме условий на бесконечности, внешняя и внутренняя к. з. могут отличаться условиями существования решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи, для уравнения Лапласа [img: http://localhost:8080/file/010317-23.jpg] в конечной области [img: http://localhost:8080/file/010317-24.jpg] необходимое условие существования решения имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010317-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010317-26.jpg] - заданная граничная функция в условии Неймана [img: http://localhost:8080/file/010317-27.jpg]. Однако для внешней задачи Неймана в бесконечной области [img: http://localhost:8080/file/010317-28.jpg] это условие уже не является необходимым.