Внешняя мера

- неотрицательная функция множества, обозначаемая [img: http://localhost:8080/file/010317-29.jpg], заданная на счетно аддитивном классе множеств, содержащем вместе с множеством любое его подмножество и обладающая свойствами: монотонности, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010317-30.jpg] счетной полуаддитивности, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010317-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010317-32.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010317-33.jpg] - пустое множество. В. м., заданная на всех подмножествах метрич. пространства, наз. В. м. в смысле Каратеодори, или метрической В. м., если [img: http://localhost:8080/file/010317-34.jpg] как только [img: http://localhost:8080/file/010317-35.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010317-36.jpg] - расстояние между множествами Xи Y. По данной В. м. может быть выделен класс измеримых множеств, на к-рых [img: http://localhost:8080/file/010317-37.jpg] становится мерой. В. м., в частности, возникают при построении продолжения меры с кольца Rна порожденное им а-кольцо. В классич. теории Лебега меры (см. [1]) внешняя мера множества определяется как нижняя грань мер открытых множеств, содержащих данное множество, а внутренняя мера множества - как верхняя грань мер замкнутых множеств, содержащихся в заданном множестве.