Вогнутый и выпуклый операторы

нелинейные операторы в полуупорядоченных пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых функций действительного переменного. Нелинейный оператор А, положительный на конусе Кв банаховом пространстве, наз. вогнутым (точнее, u0 - вогнутым на К), если: 1) для каждого ненулевого [img: http://localhost:8080/file/010317-120.jpg] выполнены неравенства [img: http://localhost:8080/file/010317-121.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010317-122.jpg] - нек-рый фиксированный ненулевой элемент из [img: http://localhost:8080/file/010317-123.jpg] - положительные скалярные функции; 2) для каждого такого [img: http://localhost:8080/file/010317-124.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010317-125.jpg] справедливы соотношения [img: http://localhost:8080/file/010317-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010317-127.jpg] Аналогично, оператор А паз. выпуклым (точнее, и 0 -выпуклым на К), если выполнены условия 1) и 2), но неравенство (*) заменено противоположным, и функция [img: http://localhost:8080/file/010317-128.jpg] Типичным примером является интегральный оператор Урысона [img: http://localhost:8080/file/010317-129.jpg] вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной функции [img: http://localhost:8080/file/010317-130.jpg] по переменному и. Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь "слабые" нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут "медленно" при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит "сильные" нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр., для них, как правило, неверна теорема о единственности положительного решения.