Возмущений теория

- комплекс методов исследования различных задач, используемый во многих разделах математики, механики, физики и техники. Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи В. т. В. т. основана на возможности приближенного описания исследуемой системы с помощью нек-рой специальным образом выбираемой "идеальной" системы, допускающей корректное и полное изучение. Одним из признаков применимости В. т. в одной из ее форм, определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. т. разрабатывается, является условие того, что уравнения, описывающие исследуемый процесс, содержат в явной или неявной форме малый параметр (или несколько таких параметров). При этом требуется, чтобы при нулевом значении малого параметра уравнения допускали точное решение, и таким образом проблема сводится к нахождению асимптотики наилучшего приближения к истинному решению с точностью до e, e 2,.... 1) В. т. впервые была предложена для решения проблем небесной механики, связанных с изучением движения планет в солнечной системе. Удаленность планет друг от друга и малая величина их массы в сравнении с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитационным взаимодействием планет между собой и рассматривать их движение (в первом приближении) по орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел задачи- планеты и Солнца. Существенное уточнение астрономич. данных сформулировало проблему учета влияния других планет на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла классическая трех тел задача, причем, напр., при изучении системы Луна - Земля - Солнце в качестве малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Земли. Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange), П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление о том, что постоянные величины, характеризующие движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движения других планет как бы "возмущаются" и претерпевают изменения, зависящие от времени; отсюда идет и наименование "теория возмущений". В. т. занимала внимание классиков Ж. Лагранжа, П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Gauss) и в результате их работ оказалось возможным проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью. Триумфом В. т. явилось открытие планеты Нептун (1848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le Verrier) из анализа отклонений в движении планеты Уран. Трудности первоначально разработанных методов В. т. были обусловлены наличием в получающихся разложениях членов, содержащих время tвне знака синуса или косинуса. Вклад таких членов в ряд В. т. существен лишь за длительные промежутки времени (порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое описание планетных движений в схеме В. т.- приемлемым является только первое приближение. Появление так наз. секудярных членов обусловлено зависимостью частоты движения (обращения) исследуемой планеты от соответствующих частот других планет. Учет такого рода зависимости и приводит к возникновению в решениях как секулярных (вида [img: http://localhost:8080/file/010318-1.jpg]), так и смешанных (вида [img: http://localhost:8080/file/010318-2.jpg]) членов. Напр., соотношение [img: http://localhost:8080/file/010318-3.jpg] в схеме В. т. допускает следующее разложение по [img: http://localhost:8080/file/010318-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010318-5.jpg] смешанный член в к-ром появляется в результате разложения колебания с частотой (1) по колебаниям с частотой w0. Создание специальных методов В. т., устраняющих секулярные члены, т. е. позволяющих представить решение в чисто тригонометрич. виде, связано с работами Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш., где [img: http://localhost:8080/file/010318-7.jpg] - набор частот, отвечающих различным движениям. В случае почти соизмеримых частот сумма в показателе экспоненты может быть малой и тогда после соответствующего интегрирования возникают члены ряда В. т., знаменатели к-рых малы, что и приводит к расходящимся выражениям ряда В. т. В частности, для двух частот [img: http://localhost:8080/file/010318-8.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010318-9.jpg], отношение к-рых является иррациональным числом, [img: http://localhost:8080/file/010318-10.jpg] можно подобрать так, чтобы соответствующий ряд В. т. расходился. При изучении с общей математич. точки зрения проблемы малых знаменателей А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. М. Ляпуновым была предложена методика построения специального вида периодич. решений, эффективная не только в задачах небесной механики, но и в теории дифференциальных уравнений в целом. Существенный вклад в решение проблемы малых делителей был сделан в работах [4], [5], [6]. Метод последовательных канонич. замен переменных позволяет "понизить" порядок возмущения и с помощью достигаемой усиленной сходимости (так наз. сверхсходимости) "преодолеть" расходимость ряда В. т. из-за малых знаменателей, возникающих в каждом порядке В. т., надлежащим выбором канонич. преобразования. 2) В В. т. для задач небесной механики развито аснмп-тотич. интегрирование дифференциальных уравнений только в. случае консервативных систем. Дальнейший прогресс В. т. связан с развитием теории колебаний, в особенности с созданием теории нелинейных колебаний. Важную роль сыграли (выполненные в развитие работ Ж. Лагранжа) исследования В. Ван дер Поля (В. Van der Pol) по уравнениям типа Рэлея с малым параметром e: [img: http://localhost:8080/file/010318-11.jpg] Частным случаем уравнения (3) является Ван дер Поля Уравнение. Для решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/010318-12.jpg] в первом приближении Б. Ван дер Поль предложил без должного математич. обоснования метод "медленно меняющихся коэффициентов", аналогичный одному из методов, применявшихся еще Ж. Лагранжем в небесной механике. Этот метод основан на представлении решения уравнения (4) в виде функции гармонич. колебаний, амплитуда и фача к-рых - медленно меняющиеся функции параметра t. Общая теория нелинейных колебаний была разработана в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. При этом были преодолены принципиальные математич. трудности и дано распространение В. т. на общие неконсервативные системы. Развитые в этих работах новые асимптотич. методы нелинейной механики позволяют получать решения в высших приближениях В. т. в математически обоснованной схеме, причем наряду с периодич. решениями допускали строгое рассмотрение квази-периодич. режима. Идея асимптотич. методов теории возмущений Крылова - Боголюбова становится наглядной при рассмотрении уравнения [img: http://localhost:8080/file/010318-13.jpg] описывающего нелинейные колебания системы с одной степенью свободы. К правильной формулировке асимптотич. метода можно прийти, исходя из физич. соображений о характере колебательного процесса. Так, при полном отсутствии нелинейности, т. е. при [img: http://localhost:8080/file/010318-14.jpg], колебания, описываемые уравнением (5), будут чисто гармоническими с постоянной амплитудой и равномерно вращающейся фазой. В случае, если [img: http://localhost:8080/file/010318-15.jpg], т. е. в случае наличия нелинейного возмущения, естественно ожидать появления в решении уравнения (5) обертонов, зависимости мгновенной частоты от амплитуды и, наконец, систематич. увеличения или уменьшения амплитуды колебания в связи с притоком или поглощением энергии возмущающими силами. Принимая во внимание все эти физич. соображения, естественно решение уравнения (5) искать в виде ряда [img: http://localhost:8080/file/010318-16.jpg] в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010318-17.jpg] - периодич. функции угла [img: http://localhost:8080/file/010318-18.jpg] с периодом [img: http://localhost:8080/file/010318-19.jpg], а величины [img: http://localhost:8080/file/010318-20.jpg] как функции времени определяются дифференциальными уравнениями [img: http://localhost:8080/file/010318-21.jpg] Таким образом, задача сводится к подбору соответствующих выражений для функций [img: http://localhost:8080/file/010318-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010318-23.jpg] так, чтобы выражение (6), в к-рое вместо аи [img: http://localhost:8080/file/010318-24.jpg] будут подставлены функции времени, определенные из системы (7), являлось решением исходного уравнения (5). Причем накладываются нек-рые дополнительные условия, обеспечивающие отсутствие в решении (6) секулярных членов. Ограничиваясь в формальном ряде (6) первыми членами, приходят к m-му приближению, обладающему свойством асимптотичности в том смысле, что при фиксированном ти [img: http://localhost:8080/file/010318-25.jpg] выражение (6) стремится к точному решению уравнения (5); уравнения первого приближения совпадают.с уравнениями Ван дер Поля. Проблема оценки погрешности m-го приближения не вызывает особенных трудностей. Аналогичным образом решается задача в случае Nстепеней свободы. Если интерпретировать формулу (6) не как решение уравнения (5), а как формулу замены переменных, то можно получить точные выражения для производных по времени от амплитуды аи фазы [img: http://localhost:8080/file/010318-26.jpg]. Как известно (см. [8], [9]) во многих случаях дифференциальные уравнения, описывающие колебательные процессы и содержащие "малый" параметр, могут быть приведены к так наз. стандартной форме: [img: http://localhost:8080/file/010318-27.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-28.jpg] - малый положительный параметр. Большое число задач физики и техники приводится к этому виду. Для системы дифференциальных уравнений вида (8) разработан особый метод аппроксимации, названный методом усреднения. Согласно методу усреднений, эти уравнения для достаточно малых значений е на конечном интервале посредством замены переменных [img: http://localhost:8080/file/010318-29.jpg] приводятся к усредненным уравнениям: [img: http://localhost:8080/file/010318-30.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-31.jpg] Применяя метод усреднения, можно получить, напр., ряд критериев о существовании и устойчивости автоколебательных режимов. Были установлены [13] при весьма общих условиях оценки разности [img: http://localhost:8080/file/010318-32.jpg] на временном интервале длины [img: http://localhost:8080/file/010318-33.jpg]. Кроме того, можно установить соответствие и в таких свойствах решений общих систем, к-рые зависят от их поведения на бесконечном интервале. Таким образом были доказаны теоремы о существовании и устойчивости квазипериодич. решений. 3) При изучении нелинейных колебательных систем можно не приводить соответствующую систему уравнений к "стандартной форме", а работать непосредственно с исходными дифференциальными уравнениями для системы гармонич. вибраторов, подверженных слабому нелинейному воздействию. При этом наряду с общими решениями для такой системы можно получить и частные решения с помощью замены переменных специального вида. Такой подход был использован Н. Н. Боголюбовым для нек-рых задач статистич. механики, связанных с вычислением функций распределения sчастиц (s= l, 2,..., N).для систем многих взаимодействующих частиц. Малым параметром в задачах статцстнч. механики может служить как малая константа взаимодействия, так и малая плотность частиц в системе. В одном из этих приближений можно выразить высшие s-частичные функции распределения через функции распределения одной частицы. При этом уже в первом приближении В. т. можно получить из системы кинетич. уравнений известные уравнения Больцмана, а также уравнения Ландау, Власова и Боголюбова - Ленарда - Балеску, широко применяемые в теории плазмы. Следует отметить, что перечисленные методы развиты в применении к уравнениям с малым параметром, входящим в них регулярным образом (не при старшей производной). В то же время, напр., уравнение Ван дер Поля в форме Рэлея в случае больших е автоматически сводится к уравнению; в к-ром малый параметр стоит перед старшей производной. Для задач такого типа, требующих особого подхода, развиты мощные методы исследования (см. [14], [15], [16], [17]). Именно задачи с малым параметром при старшей производной типичны для проблем статистич. механики и гидродинамики. Примером может служить Навье - Стокса уравнение в предположении малых коэффициентов вязкости и теплопроводности, имеющее в качестве нулевого приближения уравнения идеальной жидкости Эйлера. Поиск наилучшего приближения в данной задаче усложнен указанным условием, 4) Большое значение методы В. т. имеют в области квантовой механики, где, такие как и в классической, точные решения получены лишь в задаче двух тел, формально сводимой к задаче одного тела во внешнем потенциальном поле. Здесь используются две формы В. т.: одна для стационарных состояний, другая для расчета вероятностей переходов из одного стационарного состояния в другое в схеме метода матрицы рассеяния. В. т. формулируется в квантовой механике как задача на собственные значения для линейного самосопряженного оператора вида: [img: http://localhost:8080/file/010318-34.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-35.jpg] - малый параметр, причем известно решение задачи на собственные значения для "невозмущенного" оператора [img: http://localhost:8080/file/010318-36.jpg], т. е. задана полная система собственных функций [img: http://localhost:8080/file/010318-37.jpg] и собственных значений [img: http://localhost:8080/file/010318-38.jpg] и требуется найти спектр оператора Н. В предположении малости [img: http://localhost:8080/file/010318-40.jpg] волновые функции [img: http://localhost:8080/file/010318-39.jpg] и собственные значения энергии Е п могут быть найдены в виде рядов [img: http://localhost:8080/file/010318-41.jpg] по степеням возмущения [img: http://localhost:8080/file/010318-42.jpg]. Тогда для возмущения n-состояния В. т. дает следующий результат: [img: http://localhost:8080/file/010318-43.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010318-44.jpg] - матричный элемент оператора возмущения, определяемый согласно правилу [img: http://localhost:8080/file/010318-45.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010318-46.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-47.jpg] - элемент объема. Условие применимости В. т. к таким задачам: [img: http://localhost:8080/file/010318-48.jpg] нарушается в случае вырождения уровня энергии невозмущенной системы: вырожденному уровню энергии [img: http://localhost:8080/file/010318-49.jpg] отвечает s состояний [img: http://localhost:8080/file/010318-50.jpg] (s - кратность вырождения). В этом случае применяется нек-рая модификация В. т.: вначале учитывают влияние возмущения на вырожденные состояния, а влияние других уровней рассматривается как малое возмущение; строятся линейные комбинации s функций вырожденного состояния, причем для коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010318-51.jpg] построенной комбинации получены уравнения вида [img: http://localhost:8080/file/010318-52.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010318-53.jpg] Поправка к энергии [img: http://localhost:8080/file/010318-54.jpg] находится из секулярного уравнения системы (9). Решения [img: http://localhost:8080/file/010318-55.jpg] этого уравнения s-й степени представляют в (9) и находят [img: http://localhost:8080/file/010318-56.jpg] и волновую функцию: [img: http://localhost:8080/file/010318-57.jpg] соответствующую энергии [img: http://localhost:8080/file/010318-58.jpg] после снятия вырождения. Поправки следующего порядка находят методами обычной В. т. В нестационарном случае задача В. т. ставится в терминах вероятностей перехода из состояния [img: http://localhost:8080/file/010318-59.jpg] в состояние [img: http://localhost:8080/file/010318-60.jpg]. В. т. может применяться в гейзенберговском, шрёдингеровском представлениях или же в представлении взаимодействия. В квантовой механике есть также принципиально другого типа задачи о нахождении так наз. рассеяния матрицы двух или нескольких частиц. В особенности такие задачи важны для квантовой электродинамики, где имеется малый параметр - постоянная тонкой структуры. Проблема вычисления вероятностей перехода сводится к исследованию гамильтониана вида: [img: http://localhost:8080/file/010318-61.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-62.jpg] - свободный гамильтониан, а [img: http://localhost:8080/file/010318-63.jpg] - гамильтониан взаимодействия, к-рый по предположению включается в "отдаленном прошлом" [img: http://localhost:8080/file/010318-64.jpg] и выключается в "отдаленном будущем" [img: http://localhost:8080/file/010318-65.jpg]. В представлении взаимодействия Шрёдингера уравнение имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010318-66.jpg] Посредством замены переменных [img: http://localhost:8080/file/010318-67.jpg] можно получить для состояния [img: http://localhost:8080/file/010318-68.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/010318-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-70.jpg] Связь между начальными состояниями [img: http://localhost:8080/file/010318-71.jpg], описывающими "входящие" частицы, и конечными состояниями [img: http://localhost:8080/file/010318-72.jpg], описывающими "выходящие" частицы, формулируется в терминах так наз. оператора рассеяния S, определяемого соотношением вида: [img: http://localhost:8080/file/010318-73.jpg] Формально решение уравнения (10) можно построить методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия: [img: http://localhost:8080/file/010318-74.jpg] В квантовой теории поля справедлива аналогичная формула, в к-рую вместо [img: http://localhost:8080/file/010318-75.jpg] входит соответствующая плотность лагранжиана, причем используется представление S-оператора через T-произведение: [img: http://localhost:8080/file/010318-76.jpg] Действие оператора хронологического упорядочения Топределяется правилами: [img: http://localhost:8080/file/010318-77.jpg] причем это Т- произведение формально не определено для совпадающих аргументов. Для преодоления такого рода трудностей, возникающих в методе В. т. в квантовой теории поля, созданы специальные методы регуляризации. Релятивистски инвариантная В. т. используется для вычисления так наз. S-матрицы, элементы к-рой определяют вероятности переходов между квантовыми состояниями различных полей под влиянием взаимодействия между ними.