Волновое уравнение

уравнение с частными производными вида [img: http://localhost:8080/file/010318-103.jpg] описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача. Классич. решением задачи Коши, описывающей распространение волн в n-мерном евклидовом пространстве Е", наз. функцию [img: http://localhost:8080/file/010318-104.jpg] к-рая: непрерывно дифференцируема в [img: http://localhost:8080/file/010318-105.jpg] -мерном полупространстве ([img: http://localhost:8080/file/010318-106.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010318-107.jpg]); дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в полупространстве ([img: http://localhost:8080/file/010318-108.jpg]); удовлетворяет начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/010318-109.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010318-110.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010318-111.jpg] - заданные функции. Классич. решением смешанной задачи, описывающей колебания ограниченного объема [img: http://localhost:8080/file/010318-112.jpg], наз. функцию [img: http://localhost:8080/file/010318-113.jpg] к-рая: непрерывно дифференцируема в замкнутом цилиндре [img: http://localhost:8080/file/010318-114.jpg]; дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в открытом цилиндре [img: http://localhost:8080/file/010318-115.jpg]; удовлетворяет для [img: http://localhost:8080/file/010318-116.jpg] начальным условиям [img: http://localhost:8080/file/010318-117.jpg] и удовлетворяет к.-л. краевому условию на "боковой" поверхности указанного цилиндра. Классич. решение задачи Коши для достаточно гладких [img: http://localhost:8080/file/010318-118.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010318-119.jpg] дается так наз. Пуассона формулой, к-рая при n=1 переходит в Д'Аламбера формулу. В случае, когда в правой части В. у. вместо нуля стоит заданная функция [img: http://localhost:8080/file/010318-120.jpg] это уравнение наз. неоднородным В. у. и решение его дается так наз. Кирхгофа формулой. Смешанная задача для В. у. решается методом Фурье, методом конечных разностей и методом преобразования Лапласа. Наряду с изучением указанных задач в приведенной выше классич. постановке рассматриваются вопросы существования и единственности классич. решений, понимаемых в более слабом смысле (см. [4]), а также обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной задачи (см. [2], [3]).