Вполне ограниченное пространство

-метрическое пространство X, к-рое при любом [img: http://localhost:8080/file/010319-162.jpg] может быть представлено как объединение конечного числа множеств диаметра меньше [img: http://localhost:8080/file/010319-163.jpg]. Равносильное условие: для каждого [img: http://localhost:8080/file/010319-164.jpg] в пространстве Xсуществует конечная [img: http://localhost:8080/file/010319-165.jpg] -сеть, т. е. такое конечное множество А, что каждая точка множества Xотстоит от нек-рой точки множества Ана расстоянии, меньшем e. В. о. п. являются те и только те метрич. пространства, к-рые могут быть представлены как подпространства метрич. бикомпактных пространств. Метрич. В. о. п., рассматриваемые как топологические, в точности исчерпывают все регулярные пространства со счетной базой. Подпространство евклидова пространства является В. о. п. в том и только в том случае, если оно ограничено. Обратное не верно: бесконечное множество, в к-ром расстояние между любыми двумя различными точками равно 1, а также сфера н шар гильбертова пространства являются ограниченными, но не вполне ограниченными метрич. пространствами. О значении понятия В. о. п. свидетельствует теорема: метрич. пространство является компактом в том и только в том случае, если оно вполне ограничено и полно. Метрич. пополнение метрич. В. о. п. есть компакт. Образ метрич. В. о. п. при равномерно непрерывном отображении есть В. о. и.