Вполне регулярное пространство

топологическое пространство, в к-ром всякие два множества, из к-рых одно замкнуто, а другое состоит лишь из одной точки, функционально отделимы (см. Отделимости аксиомы). В. р. п., в к-рых все одноточечные множества замкнуты (т. е. вполне регулярные [img: http://localhost:8080/file/010320-1.jpg] -пространства), часто наз. тихоновскими пространствами. Они образуют один из важнейших классов топология, пространств, выделяющийся многими замечательными свойствами и особенно часто встречающийся в приложениях топологии к другим областям математики. Так, напр., пространство всякой топологич. группы является В. р. п., но может не быть нормальным пространством. Все тихоновские пространства являются ха-усдорфовыми и могут быть определены как пространства, имеющие (хаусдорфовы) бикомпактные расширения, т. е. как (даже всюду плотные) подпространства бикомпактов. Среди этих расширений данного пространства имеется единственное с точностью до гомеоморфизма максимальное или Стоуна- Чеха бикомпактное расширение, к-рое может быть непрерывно отображено на всй-кое (хаусдорфово) бикомпактное расширение данного пространства так, что каждая его точка отображается в себя. Прямое определение тихоновских пространств без привлечения действительных чисел и функций основано (см. [3]) на рассмотрении двух сопряженных баз пространства - открытой [img: http://localhost:8080/file/010320-2.jpg] и замкнутой [img: http://localhost:8080/file/010320-3.jpg], причел сопряженность этих баз означает, что каждая база состоит из множества, дополнительных к множествам, составляющим другую базу. Такая пара [img: http://localhost:8080/file/010320-4.jpg] сопряженных баз наз. регулярной, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) всякие два дизъюнктные замкнутые множества базы [img: http://localhost:8080/file/010320-5.jpg] имеют дизъюнктные окрестности, принадлежащие [img: http://localhost:8080/file/010320-6.jpg]; 2) база [img: http://localhost:8080/file/010320-7.jpg] является сетью, т. е. для произвольной точки хОХи ее произвольной окрестности Ох в базе [img: http://localhost:8080/file/010320-8.jpg] найдется такой элемент В, что [img: http://localhost:8080/file/010320-9.jpg]. Для того чтобы [img: http://localhost:8080/file/010320-10.jpg] -пространство было вполне регулярным, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало хотя бы одной регулярной парой сопряженных баз (теорема Зайцева).