Выборочная функция

функция [img: http://localhost:8080/file/010321-47.jpg] аргумента t, однозначно соответствующая каждому наблюдению случайного процесса [img: http://localhost:8080/file/010321-48.jpg]; здесь [img: http://localhost:8080/file/010321-49.jpg] - множество элементарных событий. Часто Д используются эквивалентные В. ф. термины "реализация", "траектория". Случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/010321-50.jpg] характери-- зустся вероятностной мерой в пространстве В. ф. При изучении локальных свойств В. ф. [img: http://localhost:8080/file/010321-51.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010321-52.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010321-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-54.jpg] - евклидово пространство размерности m=1, 2,...) предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/010321-55.jpg] является сепарабельным или находится эквивалентный случайный процесс с заданными локальными свойствами В. ф. Наиболее полно исследованы локальные свойства В. ф. гауссовских процессов. Для стационарных гауссовских случайных процессов (полей) [img: http://localhost:8080/file/010321-56.jpg] имеет место альтернатива: почти все В. ф. [img: http://localhost:8080/file/010321-57.jpg] либо непрерывны, либо неограничены на любом интервале. Для [img: http://localhost:8080/file/010321-58.jpg] определено "расстояние" [img: http://localhost:8080/file/010321-59.jpg] "сфера", [img: http://localhost:8080/file/010321-60.jpg]) - минимальное число таких "сфер", покрывающих [img: http://localhost:8080/file/010321-61.jpg]. Необходимое и достаточное условие непрерывности В. ф. однородного гауссовского процесса имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010321-62.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010321-63.jpg] выпукла вниз в нек-рой окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010321-64.jpg], то для непрерывности В. ф. [img: http://localhost:8080/file/010321-65.jpg] необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010321-66.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010321-67.jpg] выпукла вниз в окрестности +0 и [img: http://localhost:8080/file/010321-68.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010321-69.jpg], то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса [img: http://localhost:8080/file/010321-70.jpg] неогранпчены. Если [img: http://localhost:8080/file/010321-71.jpg] то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса (поля) [img: http://localhost:8080/file/010321-72.jpg] непрерывны. Для непрерывности В. ф. гауссовского случайного процесса достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010321-73.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010321-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-75.jpg] здесь sup берется по [img: http://localhost:8080/file/010321-76.jpg]. В. ф. [img: http://localhost:8080/file/010321-77.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010321-78.jpg] относят к классу [img: http://localhost:8080/file/010321-79.jpg], если для всех достаточно малых [img: http://localhost:8080/file/010321-81.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-80.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010321-82.jpg] - гауссовское случайное поле на единичном кубе [img: http://localhost:8080/file/010321-83.jpg] такое, что для достаточно малых [img: http://localhost:8080/file/010321-84.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-85.jpg] то с вероятностью, равной 1, равномерно по [img: http://localhost:8080/file/010321-86.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010321-87.jpg] для люб. и [img: http://localhost:8080/file/010321-89.jpg] Неубывающая непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/010321-90.jpg] наз. верхней, если для почти всех [img: http://localhost:8080/file/010321-91.jpg] существует [img: http://localhost:8080/file/010321-92.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/010321-93.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010321-94.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010321-95.jpg] - гауссовское случайное поле, [img: http://localhost:8080/file/010321-96.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010321-97.jpg] является верхней тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010321-98.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010321-99.jpg] Для того чтобы почти все В. ф. гауссовского случайного процесса были аналитическими в окрестности точки t0, необходимо и достаточно, чтобы ковариационная функция [img: http://localhost:8080/file/010321-100.jpg] была аналитической по tи s в окрестности [img: http://localhost:8080/file/010321-101.jpg].