Выпуклая игра

- бескоалиционная игра п лиц, в к-рой существует такое непустое множество игроков А, что для каждого игрока [img: http://localhost:8080/file/010322-114.jpg] множество его чистых стратегий [img: http://localhost:8080/file/010322-115.jpg] выпукло, а функция выигрыша [img: http://localhost:8080/file/010322-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010322-117.jpg]) вогнута по [img: http://localhost:8080/file/010322-118.jpg] при всех значениях [img: http://localhost:8080/file/010322-119.jpg]. Если функции выигрыша всех игроков в. В. и. непрерывны, а множества чистых стратегий компактны, то существует ситуация равновесия, в к-рой игроки множества А используют чистые стратегии. В. и. наз. конечной, если каждое [img: http://localhost:8080/file/010322-120.jpg] компактно и содержитея в нек-ром евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010322-121.jpg], а функции выигрыша [img: http://localhost:8080/file/010322-122.jpg] полилинейны. В частности, конечная антагонистическая В. и. задается тройкой [img: http://localhost:8080/file/010322-123.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010322-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010322-125.jpg], а функция K имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010322-126.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010322-127.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010322-128.jpg] - размерности множеств оптимальных стратегий игроков I и II соответственно, а [img: http://localhost:8080/file/010322-129.jpg] - ранг матрицы [img: http://localhost:8080/file/010322-130.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010322-131.jpg] Поэтому если матрица [img: http://localhost:8080/file/010322-132.jpg] невырожденна, то [img: http://localhost:8080/file/010322-133.jpg]. Конечные В. и. тесно связаны с вырожденными играми. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010322-134.jpg] - антагонистическая игра на единичном квадрате, функция выигрыша к-рой вогнута по [img: http://localhost:8080/file/010322-135.jpg] при каждом [img: http://localhost:8080/file/010322-136.jpg] и непрерывна на квадрате [img: http://localhost:8080/file/010322-137.jpg]. Тогда игрок I имеет оптимальную чистую стратегию [img: http://localhost:8080/file/010322-138.jpg], а игрок II - оптимальную меру (смешанную стратегию), носитель к-рой состоит не более чем из двух точек. Таким образом, можно получить нек-рую информацию о свойствах стратегий игроков в В. и., не принадлежащих множеству А. Естественным обобщением В. и. на единичном квадрате являются обобщенно-выпуклые игры, к-рые определяются тем, что для нек-рого п выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010322-139.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010322-140.jpg]. В этом случае, если условиться, что концевой точке отрезка приписывается вес 1/2, игрок I имеет оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из n/2 точек, а игрок II - оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из пточек.