Выпуклость

- термин, используемый в разных разделах математики и указывающий на свойства, обобщающие отдельные свойства выпуклых множеств в евклидовых пространствах Е n. С термином "В." ассоциируется применимость ряда приемов исследования. В Е n эквивалентны следующие два основных определения. Множество выпукло: а) если оно есть пересечение открытых полупространств; б) если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Оба определения В. переносятся на случай векторных пространств L. Определение б) распространяют на множества в пространствах с геодезическими (пространства со связностью; локально компактные метрнч. пространства, в частности римановы и финслеровы пространства). При этом роль отрезков играют геодезические; но если две точки соединимы не единственной геодезической или кратчайшей, то понятие "В." разветвляется. В рпмановой геометрии употребительны, в частности, следующие варианты В. (см. [1]; [2]): 1) множество Мвыпукло, если каждые две точки из Мсоединимы единственной кратчайшей и она лежит в М;2) множество Млокально выпукло, если каждая точка из Мимеет выпуклую в смысле 1) окрестность в М;3) множество M слабо выпукло, если каждые две точки соединимы хотя бы одной кратчайшей, идущей в М;4) множество Мабсолютно выпукло, если для каждых двух точек в Млежат все соединяющие их геодезические. В Е n границу (или часть границы) n-мерного выпуклого тела наз. выпуклой гиперповерхностью, при n=3 - выпуклой поверхностью, при n=2 - выпуклой кривой. Для функции действительного переменного В. означает В. се надграфика (см. Выпуклая функция действительного.переменного). Аналогично определяют В. функционала f в L(см. Выпуклый функционал). Для вьшуклых множеств в L можно говорить о В. семейства [img: http://localhost:8080/file/010323-152.jpg] множеств, требуя, чтобы из условия [img: http://localhost:8080/file/010323-153.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010323-154.jpg] следовало [img: http://localhost:8080/file/010323-155.jpg] На выпуклых семействах [img: http://localhost:8080/file/010323-156.jpg] определяют выпуклые (п вогнутые) функционалы Ф(М). Выпуклость функционала определяется требованием [img: http://localhost:8080/file/010323-157.jpg] Термин "В." для однолистных функций комплексной переменной имеет особый смысл - свойство отображать единичный круг в выпуклую область (см. Выпуклая функция комплексного переменного). Из обобщений В. в [img: http://localhost:8080/file/010323-158.jpg] рассматривалась R - выпуклость компакта M, означающая, что каждая точка, удаленная от Мменее чем на R, имеет в М. единственную ближайшую (см. [4], [5]). В теории линейных дифференциальных операторов термин "В." связывают с нек-рыми свойствами групп гомологии [6]. Это ассоциируется с возможностью коснуться границы изнутри области гиперповерхностью, у к-рой определенное число главных кривизн положительно. В теории функций многих комплексных переменных важную роль играет голоморфная выпуклость, связанная с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитич. оверхностью [7]. Последнее понятие есть частный случай так наз. К- выпуклости (см. [7]. с. 6). В схему K-выпуклости укладываются многие из перечисленных понятий В. В выпуклом анализе используют понятие Н - выпуклости, обобщающее представимость выпуклой функции как супремума семейства линейных функций [8]. В теории метрич. пространств выпуклость метрики (по Менгеру) определяется как существование для любых точек [img: http://localhost:8080/file/010323-159.jpg] отличной от них точки, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010323-160.jpg] (см. [9]). Под d - выпуклость ю множества Мпонимают принадлежность Млюбой такой точки [img: http://localhost:8080/file/010323-161.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010323-162.jpg] Весьма близки к этому определения В. в пространствах с упорядочением (см., напр., Выпуклая подгруппа). Почти каждому определению В. соответствует связанное с ним понятие локальной В. Но при выделении класса локально вьшуклых векторных топологич. пространств термин "локальная В." имеет особый смысл, означая существование у каждой точки базисной системы выпуклых окрестностей.