Высота идеала

- минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал. Высота [img: http://localhost:8080/file/010325-9.jpg] простого идеала [img: http://localhost:8080/file/010325-10.jpg] в кольце А - наибольшее число h(или [img: http://localhost:8080/file/010325-11.jpg], если такого числа нет) такое, что существует цепочка различных простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/010325-12.jpg] Ковысота [img: http://localhost:8080/file/010325-13.jpg] простого идеала [img: http://localhost:8080/file/010325-14.jpg] определяется как наибольшее h, для к-рого существует цепочка простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/010325-15.jpg] Иначе говоря, [img: http://localhost:8080/file/010325-16.jpg] где dim означает размерность соответствующего кольца по Круллю. Высота простого идеала равна коразмерности многообразия, определяемого идеалом, а ковысота - размерности этого многообразия. Высота и ковысота простого идеала связаны неравенством [img: http://localhost:8080/file/010325-17.jpg] равенство достигается, напр., в случае, когда А- локальное Казна - Маколея кольцо. Простые идеалы высоты 0 -это минимальные простые идеалы. Существование в нётеровой области целостности простых идеалов высоты 1 устанавливает теорема о главном идеале: высота ненулевого главного идеала равна 1 (см. Крулля кольцу). Более общий результат - теорема Крулля - связывает высоту с числом образующих идеала: в нётеровом кольце В. и., порожденного r элементами, не превосходит r, и обратно: простой идеал высоты rявляется минимальным среди простых идеалов, содержащих некоторые rэлементов. В частности, в нётеровом кольце любой идеал имеет конечную высоту; в отношении ко-высоты это уже не так (см. [2]).