Вьеториса гомологии

одна из первых теорий гомологии, определенных в неполиэдральном случае. Впервые их рассмотрел Л. Брауэр (L. Brouwer, 1911) (в плоском случае), а затем Л. Вьеторис (L. Vietoris, 1927) распространил его определение на произвольные подмножества евклидова (и даже метрического) пространства. Под (упорядоченным) n-мерным симплексом tn подмножества Аметрич. пространства X понимается упорядоченное подмножество [img: http://localhost:8080/file/010326-3.jpg] в Ас условием [img: http://localhost:8080/file/010326-4.jpg] После этого определяются [img: http://localhost:8080/file/010326-5.jpg] -цепи множества Апо данной группе коэффициентов Gкак формальные конечные линейные комбинации [img: http://localhost:8080/file/010326-6.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010326-7.jpg] -симплексов [img: http://localhost:8080/file/010326-8.jpg] с коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/010326-9.jpg] Граница [img: http://localhost:8080/file/010326-10.jpg] симплекса [img: http://localhost:8080/file/010326-11.jpg] определяется так: [img: http://localhost:8080/file/010326-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010326-13.jpg] это - [img: http://localhost:8080/file/010326-14.jpg] -цепь. По линейности определяются граница любой [img: http://localhost:8080/file/010326-15.jpg] -цепи, и [img: http://localhost:8080/file/010326-16.jpg] -циклы как [img: http://localhost:8080/file/010326-17.jpg] -цепи с нулевой границей, [img: http://localhost:8080/file/010326-18.jpg] -цепь [img: http://localhost:8080/file/010326-19.jpg] множества [img: http://localhost:8080/file/010326-20.jpg] -гомологична нулю в А (взаписи [img: http://localhost:8080/file/010326-21.jpg]), если [img: http://localhost:8080/file/010326-22.jpg] для нек-рой [img: http://localhost:8080/file/010326-23.jpg] -цепи [img: http://localhost:8080/file/010326-24.jpg] в А. Истинным циклом, множества Аназ. последовательность [img: http://localhost:8080/file/010326-25.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010326-26.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/010326-27.jpg] -цикл в А, и [img: http://localhost:8080/file/010326-28.jpg]. Истинные циклы образуют группу [img: http://localhost:8080/file/010326-29.jpg] (A, G). Истинный цикл z гомологичен нулю в А, если для любого [img: http://localhost:8080/file/010326-30.jpg] существует такое N, что все [img: http://localhost:8080/file/010326-31.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010326-32.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010326-33.jpg] -гомологичны нулю в А. Обозначим [img: http://localhost:8080/file/010326-34.jpg] факторгруппу группы [img: http://localhost:8080/file/010326-35.jpg] по подгруппе [img: http://localhost:8080/file/010326-36.jpg] циклов, гомологичных нулю. Цикл zназ. сходящимся, если для любого [img: http://localhost:8080/file/010326-37.jpg] существует такое N, что любые два цикла [img: http://localhost:8080/file/010326-38.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010326-39.jpg] -гомологичны между собою в А. Обозначим группу сходящихся циклов [img: http://localhost:8080/file/010326-40.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/010326-41.jpg] -соответствующая факторгруппа. Цикл z имеет компактный носитель, если существует такой компакт [img: http://localhost:8080/file/010326-42.jpg], что все вершины всех симплексов всех циклов [img: http://localhost:8080/file/010326-43.jpg] лежат в F. Аналогично изменим понятие гомологичности нулю цикла, потребовав наличие компакта, на к-ром лежат все осуществляющие гомологию цепи; определяем сходящийся цикл с компактным носителем. Обозначая индексом kвнизу переход к циклам и гомологиям с компактными носителями, приходим к группам [img: http://localhost:8080/file/010326-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010326-45.jpg]. Вторая из них наз. группой гомологии Вьеториса. В случае конечного полиэдра группы В. г. совпадают со стандартными. Определяются также относительные группы гомологии [img: http://localhost:8080/file/010326-46.jpg] по модулю подмножества [img: http://localhost:8080/file/010326-47.jpg]. Именно, [img: http://localhost:8080/file/010326-48.jpg] -циклом множества Апо модулю Вназ. любая [img: http://localhost:8080/file/010326-49.jpg] -цепь [img: http://localhost:8080/file/010326-50.jpg] в А, для к-рой цепь [img: http://localhost:8080/file/010326-51.jpg] лежит в В. Аналогично, [img: http://localhost:8080/file/010326-52.jpg] -цикл [img: http://localhost:8080/file/010326-53.jpg] по модулю В [img: http://localhost:8080/file/010326-54.jpg] -гомологичен по модулю Внулю в А, если [img: http://localhost:8080/file/010326-55.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010326-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010326-57.jpg] суть [img: http://localhost:8080/file/010326-58.jpg] -цепи в А, и цепь [img: http://localhost:8080/file/010326-59.jpg] лежит в В.