Галуа теория колец

- обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей, Н - некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N - подгруппа группы Н, [img: http://localhost:8080/file/010403-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010403-47.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010403-48.jpg] - подкольцо кольца А. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010403-49.jpg] - подкольцо кольца А. Говорят, что автоморфизм hкольца Асоставляет кольцо [img: http://localhost:8080/file/010403-50.jpg] поэлементно инвариантным, если [img: http://localhost:8080/file/010403-51.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010403-52.jpg]. Множество всех таких автоморфизмов обозначается [img: http://localhost:8080/file/010403-53.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010403-54.jpg] Основной объект изучения Г. к. т.- соответствия: [img: http://localhost:8080/file/010403-55.jpg] В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае, когда группа Нконечна) здесь не всегда выполняется равенство G(B1) = H(B1), а соответствия 1), 2) и 1), 3) не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представляет интерес выделение таких семейств подколец и семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог теоремы о соответствиях Галуа. В двух случаях эта задача получила удовлетворительное решение. Первый из них характеризуется требованием "близости" свойств кольца А к свойствам поля (напр., А - тело или полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом), второй - требованием "близости" строения кольца Анад подкольцом Вк строению соответствующей пары в случае, когда А - поле (напр.,.В-модуль проективен). Пусть с - обратимый элемент кольца Аи [img: http://localhost:8080/file/010403-56.jpg] - автоморфизм кольца А, определяемый равенством [img: http://localhost:8080/file/010403-57.jpg] - подалгебра алгебры А, порожденная обратимыми элементами [img: http://localhost:8080/file/010403-58.jpg], для которых [img: http://localhost:8080/file/010403-59.jpg] Группа Нназ. N - группой, если [img: http://localhost:8080/file/010403-60.jpg] для всех обратимых [img: http://localhost:8080/file/010403-61.jpg]. Если А - тело, В - его подтело, причем [img: http://localhost:8080/file/010403-62.jpg], А - конечномерное левое векторное пространство над В, то соответствия Галуа [img: http://localhost:8080/file/010403-63.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010403-64.jpg] являются обратными друг к другу где Нпринадлежит множеству всех N-подгрупп группы G(B),a D- множеству всех подтел тела Л, содержащих тело В. Аналогичный результат справедлив и в том случае, когда А - полное кольцо линейных преобразований (однако соответствующая система условий, выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, формулируется несколько сложнее). Пусть далее А - коммутативное кольцо без нетривиальных идемпотентов и [img: http://localhost:8080/file/010403-65.jpg]. Кольцо Аназ. конечным нормальным расширением кольца В, если [img: http://localhost:8080/file/010403-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010403-67.jpg] и А- конечно порожденный B-модуль. Кольцо Аможно рассматривать как [img: http://localhost:8080/file/010403-68.jpg] -модуль, полагая [img: http://localhost:8080/file/010403-69.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010403-70.jpg]. Кольцо Аназ. сепарабельной В-алгеброй, если А - проективный [img: http://localhost:8080/file/010403-71.jpg] - модуль. Если А - конечное нормальное сепарабельное расширение кольца В, то А - конечно порожденный проективный fi-модуль, группа G(B).конечна [img: http://localhost:8080/file/010403-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010403-73.jpg] и отображения [img: http://localhost:8080/file/010403-74.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010403-75.jpg] задают взаимно обратные соответствия между множеством всех подгрупп группы G(B).и множеством всех сепарабельных B-подалгебр алгебры А. Всякое кольцо Вобладает сепарабельным замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыкания, оставляющих кольцо Впоэлементно инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными на множестве всех замкнутых подгрупп полученной группы и на множестве всех сепарабельных В-подалгебр сепарабельного замыкания кольца В. Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда кольцо Всодержит нетривиальные идемпо-тенты. При этом, однако, ряд основных понятий подвергается существенному изменению. Напр., роль группы Галуа G(B).играет фундаментальный группоид.