Гамильтонова система линейная

система вида [img: http://localhost:8080/file/010404-1.jpg] где Н -квадратичная форма с действительными коэффициентами от переменных [img: http://localhost:8080/file/010404-2.jpg] с коэффициентами, к-рые могут зависеть от времени t. Г. с. л. наз. также линейной канонической системой. Система (1) может быть записана в векторной форме: [img: http://localhost:8080/file/010404-3.jpg] где х - вектор-столбец [img: http://localhost:8080/file/010404-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-5.jpg] - матрица квадратичной формы 2Н и [img: http://localhost:8080/file/010404-6.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010404-7.jpg] - единичная [img: http://localhost:8080/file/010404-8.jpg] -матрица). Уравнение (2) с произвольной неособой действительной кососимметрической матрицей J может быть сведено подходящей заменой вида [img: http://localhost:8080/file/010404-9.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010404-10.jpg] - неособая действительная матрица, к аналогичному виду: [img: http://localhost:8080/file/010404-11.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010404-12.jpg] - любая заранее заданная действительная неособая кососимметрическая матрица. Ниже предполагается, что в (2) [img: http://localhost:8080/file/010404-13.jpg] К канонич. уравнению (2) сводятся: векторное уравнение 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010404-14.jpg] в к-ром у- вектор порядка [img: http://localhost:8080/file/010404-15.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-16.jpg] - действительные [img: http://localhost:8080/file/010404-17.jpg] -матрицы функции, [img: http://localhost:8080/file/010404-18.jpg]; уравнение [img: http://localhost:8080/file/010404-19.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-20.jpg] - постоянная матрица, [img: http://localhost:8080/file/010404-21.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010404-22.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010404-23.jpg] (матрицы [img: http://localhost:8080/file/010404-24.jpg] - действительные), скалярное уравнение [img: http://localhost:8080/file/010404-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-26.jpg] - действительные функции, [img: http://localhost:8080/file/010404-27.jpg] и аналогичное векторное уравнение. [Для уравнения (3) [img: http://localhost:8080/file/010404-28.jpg] для уравнения (За) [img: http://localhost:8080/file/010404-29.jpg] для уравнения (4) [img: http://localhost:8080/file/010404-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-30.jpg] Скалярное уравнение (3) с [img: http://localhost:8080/file/010404-32.jpg] т. е. уравнение [img: http://localhost:8080/file/010404-33.jpg] в к-ром Р(t) - периодич. функция, наз. уравнением Хилла. Пусть X(t) - матрицант уравнения (2) [матрица фундаментальной системы решений уравнения (2), нормированная условием [img: http://localhost:8080/file/010404-34.jpg] ]. Введем индефинитное скалярное произведение [img: http://localhost:8080/file/010404-35.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010404-36.jpg] - обычное скалярное произведение. Матрица U (вообще комплексная), унитарная в смысле этого произведения, т. е. такая, что [img: http://localhost:8080/file/010404-37.jpg], наз. J-унитарной; действительная J-унитарная матрица Xназ. симплектической. Известно (см. Гамильтонова система), что при сдвиге вдоль траектории Г. с. сохраняется интегральный инвариант Пуанкаре - внешняя дифференциальная форма [img: http://localhost:8080/file/010404-38.jpg] В случае Г. с. л. это свойство означает, что для любых решений [img: http://localhost:8080/file/010404-39.jpg] уравнения (2) выполнено [img: http://localhost:8080/file/010404-40.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-41.jpg] т. е. что матрицант X(t)-симплектическая матрица для любого t. Из соотношения [img: http://localhost:8080/file/010404-42.jpg] следует (теорема Ляпунова-Пуанкаре), что собственные значения симплектической матрицы X(с учетом их кратностей и порядков жорда-новых ящиков) располагаются симметрично (в смысле инверсии) относительно единичной окружности. Собственные значения симплектических (и J-унитарных) матриц, равные по модулю 1, подразделяются на собственные значения 1-го и 2-го рода по следующему правилу. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010404-43.jpg] - собственное значение J-унитарной матрицы [img: http://localhost:8080/file/010404-44.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010404-45.jpg]. Тогда форма бx, xс на соответствующем корневом подпространстве не вырождается. Пусть р - число положительных и q - число отрицательных ее квадратов; говорят, что в точке [img: http://localhost:8080/file/010404-46.jpg] совпало [img: http://localhost:8080/file/010404-47.jpg] собственных значений 1-го рода и qсобственных значений 2-го рода. Аналогично определяется род чисто мнимых собственных значений матриц (для них [img: http://localhost:8080/file/010404-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-49.jpg]). Для J-унитарной матрицы X собственные значения [img: http://localhost:8080/file/010404-50.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010404-51.jpg] считаются собственными значениями 1-го рода, если [img: http://localhost:8080/file/010404-52.jpg], и 2-г о рода, если [img: http://localhost:8080/file/010404-53.jpg]. Любая симплектическая матрица Xимеет (с учетом кратности) ровно k собственных значений [img: http://localhost:8080/file/010404-54.jpg] 1-го рода и k значений [img: http://localhost:8080/file/010404-55.jpg] 2-го рода. При соответствующей нумерации r1,..., rk являются непрерывными функциями матрицы X(см. [2], [3]). 1. Осцилляторные свойства решений Г. с. л. К изучению осцилляторных свойств решений уравнений (2) -(4) приводит ряд задач вариационного исчисления, оптимального управления, исследование свойств спектра соответствующего дифференциального оператора и др. Определения. (I) Уравнение (3) наз. колебательным, если для любого [img: http://localhost:8080/file/010404-56.jpg] найдутся числа [img: http://localhost:8080/file/010404-57.jpg] и решение [img: http://localhost:8080/file/010404-58.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/010404-59.jpg], и неколебательным - в противном случае. (II) Уравнение (4) наз. колебательным, если для любого t0>0 найдется решение [img: http://localhost:8080/file/010404-60.jpg] имеющее по крайней мере два k-кратных нуля [img: http://localhost:8080/file/010404-61.jpg] и неколебательным - в противном случае. (III) Уравнение (1) наз. колебательным, если на [img: http://localhost:8080/file/010404-62.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010404-63.jpg] является неограниченной, и неколебательны м в противном случае. [В(5) [img: http://localhost:8080/file/010404-64.jpg] суть собственные значения 1-го рода матрицы X(t). После сведения уравнения (3) или (4) к уравнению (2) получающееся уравнение (2) будет колебательным в смысле определения (III) тогда и только тогда, когда уравнение (3) [соответственно (4)] колебательно в смысле определения (I) [соответственно (II)]. Определению (III) можно придать следующую геометрич. интерпретацию. Группа [img: http://localhost:8080/file/010404-65.jpg] симплектических матриц Xгомеоморфна произведению связного и односвязного топологич. пространства на окружность. Соответствующее отображение можно выбрать так, что [img: http://localhost:8080/file/010404-66.jpg] является проекцией матрицы [img: http://localhost:8080/file/010404-67.jpg] на окружность (числа [img: http://localhost:8080/file/010404-68.jpg] - собственные значения 1-го рода матрицы X). Таким образом, уравнение (2) колебательно, если при [img: http://localhost:8080/file/010404-69.jpg] матрица X(t).неограниченно "закручивается" в Sp(k, R). (При n=1 эта группа гомеоморфна "сплошному тору" и "закручивание" имеет очевидный наглядный смысл.) Известны другие разнообразные определения аргумента симплектической матрицы, соответствующие другим отображениям группы [img: http://localhost:8080/file/010404-70.jpg] на окружность и эквивалентные (5) в том смысле, что при любом из них выполнено неравенство: [img: http://localhost:8080/file/010404-71.jpg] для любой кривой [img: http://localhost:8080/file/010404-72.jpg] Такими аргументами являются, напр., [img: http://localhost:8080/file/010404-73.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-74.jpg] суть [img: http://localhost:8080/file/010404-75.jpg] -подматрицы матрицы [img: http://localhost:8080/file/010404-76.jpg] (см. также [4]). Известны разнообразные эффективно проверяемые достаточные (а в нек-рых случаях необходимые и достаточные) условия колебательности и неколебательности уравнений (2), (3), (4) (см., напр., [5] и литературу в [6]). 2. Г. с. л. с периодическими коэффициентами. Пусть в (2) [img: http://localhost:8080/file/010404-77.jpg] почти всюду. Матрица X(Т).наз. матрицей монодро-м и и уравнения (2), а ее собственные значения - мультипликаторами уравнения (2). Уравнение (2) (или соответствующий гамильтониан Н(t)).наз. сильно устойчивым, если все его решения ограничены на [img: http://localhost:8080/file/010404-78.jpg] и это свойство не нарушается при малых деформациях гамильтониана в смысле нормы [img: http://localhost:8080/file/010404-79.jpg] Аналогично определяется сильная неустойчивость уравнения (2) (гамильтониана [img: http://localhost:8080/file/010404-80.jpg]). Для сильной устойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно чтобы все его мультипликаторы лежали на единичной окружности и среди них не было совпадающих разного рода (иначе, чтобы все корневые подпространства у X(Т).были дефинитны в смысле произведения [img: http://localhost:8080/file/010404-81.jpg]). Для сильной неустойчивости уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы нек-рые его мультипликаторы лежали вне единичной окружности. Два набора мультипликаторов (с учетом их рода), среди к-рых нет совпадающих разного рода, наз. эквивалентными, если один набор можно непрерывно перевести в другой без встречи мультипликаторов разного рода. Класс эквивалентных наборов мультипликаторов наз. мультипликаторным типом. В случае устойчивости имеется 2 k мультипликаторных типа. Их можно обозначить символами вида [img: http://localhost:8080/file/010404-82.jpg] = (+, +, -, +,...,-), в к-рых полюсы и минусы соответствуют роду мультипликаторов, последовательно встречающихся при прохождении верхней полуокружности |р| = 1 от точки [img: http://localhost:8080/file/010404-83.jpg] к точке [img: http://localhost:8080/file/010404-84.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010404-85.jpg] - множество всех гамильтонианов указанного выше вида с нормой [img: http://localhost:8080/file/010404-86.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/010404-87.jpg] сильно устойчивых гамильтонианов распадается в Л на счетное число областей [img: http://localhost:8080/file/010404-88.jpg] Область [img: http://localhost:8080/file/010404-89.jpg] является множеством всех гамильтонианов, к-рым отвечают мультипликаторный тип m, и целое число п, определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/010404-90.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-91.jpg] - аргументы мультипликаторов 1-го рода (см. [41, [7]). Для [img: http://localhost:8080/file/010404-92.jpg] множество сильно неустойчивых гамильтонианов распадается на счетное число областей; при [img: http://localhost:8080/file/010404-93.jpg] это множество связно. Известны (см. [3], [7], [8]) разнообразные достаточные условия принадлежности [img: http://localhost:8080/file/010404-94.jpg]. При получении этих условий лажную роль играет следующая теорема: пусть [img: http://localhost:8080/file/010404-95.jpg] тогда из сильной устойчивости "отрезка" [img: http://localhost:8080/file/010404-96.jpg] следует сильная устойчивость любого гамильтониана Н(t).такого, что [img: http://localhost:8080/file/010404-97.jpg] Аналогичная теорема установлена и для бесконечномерного случая [img: http://localhost:8080/file/010404-98.jpg], когда [img: http://localhost:8080/file/010404-99.jpg] - гильбертово пространство и в (2) J, Н(t).суть операторы со специальными свойствами (см. [9]); при к=1 эта теорема верна и для сильно неустойчивых гамильтонианов [3]. 3. Параметрический резонанс. Рассмотрим уравнение [img: http://localhost:8080/file/010404-100.jpg] с постоянным гамильтонианом Н 0 таким, что все решения уравнения (8) ограничены. Частота q наз. критической, если для любого d>1 найдется "возмущенное" гамильтоново уравнение [img: http://localhost:8080/file/010404-101.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-102.jpg] такое, что уравнение (9) имеет неограниченные решения (знак у [img: http://localhost:8080/file/010404-103.jpg] может быть любым). Явление возникновения неограниченно нарастающих колебаний системы при сколь угодно малом периодическом возмущении нек-рых ее параметров наз. параметрическим резонансом. Параметрич. резонанс имеет большое значение в технике и физике. Он "опаснее" (или "полезнее", в зависимости от задачи) обычного резонанса, поскольку в отличие от последнего при нем колебания нарастают по экспоненциальному закону (а не степенному), и частоты, при к-рых имеет место резонанс, заполняют малые интервалы. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возбуждения, а сами интервалы стягиваются в точки (соответствующие критич. частотам), когда амплитуда возбуждения стремится к нулю. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010404-104.jpg] - собственные значения 1-го рода матрицы [img: http://localhost:8080/file/010404-105.jpg] (тогда [img: http://localhost:8080/file/010404-106.jpg] имеют 2-й род). Пусть [img: http://localhost:8080/file/010404-107.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-108.jpg] Критич. частотами являются числа [img: http://localhost:8080/file/010404-109.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010404-110.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010404-111.jpg]) и только они (см. [2]). Пусть в (9) [img: http://localhost:8080/file/010404-112.jpg] - малый параметр; [img: http://localhost:8080/file/010404-113.jpg] Систему векторов fj можно выбрать нормированной условием [img: http://localhost:8080/file/010404-114.jpg]. На плоскости [img: http://localhost:8080/file/010404-115.jpg] вблизи оси [img: http://localhost:8080/file/010404-116.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010404-117.jpg], для к-рых уравнение (9) с [img: http://localhost:8080/file/010404-118.jpg] сильно неустойчиво, заполняют области [img: http://localhost:8080/file/010404-119.jpg] примыкающие к точкам [img: http://localhost:8080/file/010404-120.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010404-121.jpg] (имеется в виду "общий" случай, см. [3]). Числа [img: http://localhost:8080/file/010404-122.jpg], m2 просто выражаются через [img: http://localhost:8080/file/010404-123.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010404-124.jpg] (см., напр., [3]). Величина [img: http://localhost:8080/file/010404-125.jpg] характеризует "степень опасности" критич. частоты [img: http://localhost:8080/file/010404-126.jpg]: чем больше эта величина, тем шире "клинышек" неустойчивости, примыкающий к точке [img: http://localhost:8080/file/010404-127.jpg], и тем ближе к оси [img: http://localhost:8080/file/010404-128.jpg] подходит внутри этого клинышка область [img: http://localhost:8080/file/010404-129.jpg] - экспоненциального возрастания решения с малым [img: http://localhost:8080/file/010404-130.jpg] (подробнее см. в [3]). Другие сведения имеются в [10], [12], [13]. Результаты, аналогичные перечисленным, имеются для уравнений (1) с комплексными коэффициентами (H(t).- эрмитова матрица функции, [img: http://localhost:8080/file/010404-131.jpg] см., напр., [11]). В работе [14] рассмотрена более общая система [img: http://localhost:8080/file/010404-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010404-133.jpg] Выяснено, что как в комплексном, так и в действительном случаях имеется конечное число областей устойчивости, получены их характеристики в терминах свойств решений соответствующих уравнений. Ряд аналогичных результатов получен также для операторных уравнений (2) в гильбертовом пространстве с ограниченными и неограниченными операторными коэффициентами (см. [15], [16]).