Гармоническая мера

понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D - ограниченное открытое множество евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010405-72.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010405-73.jpg] - граница [img: http://localhost:8080/file/010405-74.jpg] - конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармония, функция [img: http://localhost:8080/file/010405-75.jpg] на D, являющаяся для f обобщенным решением Дирихле задачи. Если считать точку [img: http://localhost:8080/file/010405-76.jpg] фиксированной, то функционал Н f(x).определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру [img: http://localhost:8080/file/010405-77.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010405-78.jpg] к-рая и называется гармонической мерой в точке х. Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле [img: http://localhost:8080/file/010405-79.jpg] полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3] выметания методом. Более того, если Е- произвольное борелевское множество на Г, то Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010405-80.jpg] Множества Ев точке хравна значению в хобобщенного решения задачи Дирихле для характеристпч. функции [img: http://localhost:8080/file/010405-81.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010405-82.jpg], множества Е. Основные свойства Г. м: [img: http://localhost:8080/file/010405-83.jpg] - гармонич. функция точки хна D; [img: http://localhost:8080/file/010405-84.jpg] если D - область и [img: http://localhost:8080/file/010405-85.jpg] хвтя бы в одной точке хО D, то [img: http://localhost:8080/file/010405-86.jpg] В последнем случае Еназ. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество [img: http://localhost:8080/file/010405-87.jpg] имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, [img: http://localhost:8080/file/010405-88.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/010405-89.jpg] то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области [img: http://localhost:8080/file/010405-90.jpg] то есть Кесть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество Кимеет нулевую абсолютную Г. С точки зрения приложений к теории функций комплексного переменного особенно важное значение имеет зависимость Г. м. от области D, выражаемая гармонической меры, принципом, сущность к-рого состоит в том, что при отображениях области D, осуществляемых однозначными аналитич. функциями [img: http://localhost:8080/file/010405-91.jpg], хО D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется. Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для простейших областей D(прежде всего, для круга и шара, полуплоскости, полупространства; см. Пуассона интеграл). Поэтому важное значение имеют различные методы оценки (см. [4]-[7]) Г. м., базирующиеся в основном на расширения области принципе. В простейшей форме при n=2 он состоит в следующем: пусть конечносвязная область Dограничена конечным числом жордановых кривых [img: http://localhost:8080/file/010405-92.jpg] - дуги, лежащие, на Г. Тогда, если область Dрасширяется каким-либо образом через дополнительную часть [img: http://localhost:8080/file/010405-93.jpg] границы, то Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010405-94.jpg] может только увеличиться.