Гаусса квадратурная формула

квадратурная формула вида [img: http://localhost:8080/file/010407-187.jpg] в к-рой узлы xi и веса с; подбираются так, чтобы формула была точна для функций [img: http://localhost:8080/file/010407-188.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-189.jpg] - заданные линейно независимые функции (пределы интегрирования могут быть и бесконечными). Г. к. ф. введены К. Гауссом (см. [1]) для [img: http://localhost:8080/file/010407-190.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-191.jpg] Полученная им общая формула, точная для произвольного многочлена степени не выше 2n- 1, имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010407-192.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-193.jpg] - корни Лежандра многочлена [img: http://localhost:8080/file/010407-194.jpg]. и [img: http://localhost:8080/file/010407-195.jpg] определяются по формулам [img: http://localhost:8080/file/010407-196.jpg] Применяется в тех случаях, когда подинтегральная функция достаточно гладкая, а выигрыш в числе узлов крайне существен: напр., если [img: http://localhost:8080/file/010407-197.jpg] определяется из дорогостоящих экспериментов, или при вычислении кратных интегралов как повторных. При практическом применении в таких случаях очень важен удачный подбор весовой функции [img: http://localhost:8080/file/010407-198.jpg] и функций [img: http://localhost:8080/file/010407-199.jpg] Для широких классов [img: http://localhost:8080/file/010407-200.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010407-201.jpg] составлены таблицы узлов Г. к. ф. (см. [1]), в частности в [5] при. [img: http://localhost:8080/file/010407-202.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010407-203.jpg] Г. к. ф. применяется в стандартных программах интегрирования с автоматич. выбором шага как метод вычисления интегралов по подотрезкам разбиения (см. [6]).