Гаусса метод

- метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решений системы линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом [1]. Пусть дана система [img: http://localhost:8080/file/010407-204.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-205.jpg] - элементы произвольного поля Р. Без ограничения общности можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/010407-206.jpg]. Г. м. состоит в следующем. Из второго уравнения системы [img: http://localhost:8080/file/010407-207.jpg] вычитают первое ее уравнение, умноженное почленно на [img: http://localhost:8080/file/010407-208.jpg] из третьего - первое, умноженное на [img: http://localhost:8080/file/010407-209.jpg] из m-го - первое, умноженное на [img: http://localhost:8080/file/010407-210.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010407-211.jpg] - система полученных уравнений-разностей. При наличии ненулевого коэффициента в [img: http://localhost:8080/file/010407-212.jpg] (после возможного изменения порядка уравнений и переменных) поступают с ней так же, как с системой [img: http://localhost:8080/file/010407-213.jpg], и т. д. Если ранг r системы [img: http://localhost:8080/file/010407-214.jpg] (т. е. ранг матрицы ее коэффициентов) меньше числа т, то на r-м шага появляется система [img: http://localhost:8080/file/010407-215.jpg] с нулевыми коэффициентами при всех неизвестных; при [img: http://localhost:8080/file/010407-216.jpg] система [img: http://localhost:8080/file/010407-217.jpg] считается пустой. Система [img: http://localhost:8080/file/010407-218.jpg] тогда и только тогда совместна, когда система [img: http://localhost:8080/file/010407-219.jpg] либо совместна (т. е. не имеет отличных от нуля свободных членов), либо пуста. Процесс получения одного из решений (совместной) системы [img: http://localhost:8080/file/010407-220.jpg] может быть описан следующим образом. Берется к.-л. решение [img: http://localhost:8080/file/010407-221.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010407-222.jpg] Придавая значения [img: http://localhost:8080/file/010407-223.jpg] неизвестным [img: http://localhost:8080/file/010407-224.jpg] в к.-л. уравнении системы [img: http://localhost:8080/file/010407-225.jpg], имеющем ненулевой коэффициент при [img: http://localhost:8080/file/010407-226.jpg] (напр., в первом ее уравнении), находят из него [img: http://localhost:8080/file/010407-227.jpg] и получают решение [img: http://localhost:8080/file/010407-228.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-229.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010407-230.jpg]. Иначе говоря, значение [img: http://localhost:8080/file/010407-231.jpg] получается из системы [img: http://localhost:8080/file/010407-232.jpg] при замене в ней неизвестных [img: http://localhost:8080/file/010407-233.jpg] взятыми их значениями. Значения [img: http://localhost:8080/file/010407-234.jpg] подставляются затем в систему [img: http://localhost:8080/file/010407-235.jpg], находится значение [img: http://localhost:8080/file/010407-236.jpg] и получают решение [img: http://localhost:8080/file/010407-237.jpg] и т. д. Найденные так значения [img: http://localhost:8080/file/010407-238.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-239.jpg] составляют вместе со взятыми значениями [img: http://localhost:8080/file/010407-240.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-241.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/010407-242.jpg] системы [img: http://localhost:8080/file/010407-243.jpg] (см. [2]). Описанный метод допускает следующее обобщение (см. [4]). Пусть U- нек-рое подпространство векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/010407-244.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010407-245.jpg] - множество всех решений [img: http://localhost:8080/file/010407-246.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/010407-247.jpg] где хпробегает U. Для произвольной конечной системы [img: http://localhost:8080/file/010407-248.jpg] ненулевых образующих элементов пространства [img: http://localhost:8080/file/010407-249.jpg] составляется система [img: http://localhost:8080/file/010407-250.jpg] (х - неизвестное), наз. U-сверткой системы [img: http://localhost:8080/file/010407-251.jpg] Если пространство [img: http://localhost:8080/file/010407-252.jpg] не содержит ненулевых элементов, то считается, что система [img: http://localhost:8080/file/010407-253.jpg] имеет пустую U-cвертку. Если система [img: http://localhost:8080/file/010407-254.jpg] совместна, то при любом Uее U-свертка совместна или пуста. Установлено, что для совместности системы [img: http://localhost:8080/file/010407-255.jpg] достаточно, чтобы совместной или пустой была ее U-свертка хотя бы для одного U. Пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/010407-256.jpg] - подпространства, [img: http://localhost:8080/file/010407-257.jpg] порождаемые [img: http://localhost:8080/file/010407-258.jpg] в пространстве [img: http://localhost:8080/file/010407-259.jpg] векторами. e1=(1,0,..., 0), e2=(0,1,..., 0),..., en=(0,0,...,1). Для [img: http://localhost:8080/file/010407-261.jpg] уравнение (*) сводится к уравнению [img: http://localhost:8080/file/010407-262.jpg] Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/010407-263.jpg]. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/010407-264.jpg] то в качестве ненулевых образующих элементов пространства [img: http://localhost:8080/file/010407-265.jpg] можно взять векторы [img: http://localhost:8080/file/010407-266.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-267.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-268.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010407-269.jpg] и тогда [img: http://localhost:8080/file/010407-270.jpg] -свертывание системы [img: http://localhost:8080/file/010407-271.jpg] совпадает с процедурой исключения неизвестного [img: http://localhost:8080/file/010407-272.jpg] в Г. м. U-свертывание системы [img: http://localhost:8080/file/010407-273.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010407-274.jpg] есть процедура одновременного исключения двух неизвестных [img: http://localhost:8080/file/010407-275.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010407-276.jpg]. Пусть, напр., [img: http://localhost:8080/file/010407-277.jpg]. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/010407-278.jpg] то для получения [img: http://localhost:8080/file/010407-279.jpg] -свертки системы S0 можно взять строки матрицы [img: http://localhost:8080/file/010407-280.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010407-281.jpg] Чередуя исключения отдельных неизвестных с исключением тех или иных пар (или в общем случае наборов) неизвестных, можно для нахождения решений системы S0 строить те или иные алгоритмы, обобщающие Г. м.