Гаусса сумма

- тригонометрическая сумма вида [img: http://localhost:8080/file/010408-34.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-35.jpg] - числовой характер по модулю д. Г. с. вполне определяется заданием характера [img: http://localhost:8080/file/010408-36.jpg] и числа а. Г. с. были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1811 в случае простого нечетного q=р и характера [img: http://localhost:8080/file/010408-37.jpg], где - Лежандра символ. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/010408-38.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010408-39.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-40.jpg] Исследуя свойства суммы (*) К. Гаусс нашел точное выражение для модуля этой суммы: [img: http://localhost:8080/file/010408-41.jpg] Он также решил более трудную задачу определения знака [img: http://localhost:8080/file/010408-42.jpg] и показал, что [img: http://localhost:8080/file/010408-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-44.jpg] К. Гаусс использовал свойства сумм (*) для решения нек-рых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности. Значение Г. с. для теории чисел было выявлено только в 20-е гг. 20 в. В это время Г. Вейль (Н. Weyl) применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрич. суммы, получившие назв. Вейля сумм. В то же время И. М. Виноградов использовал Г. с. для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Г. с. позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: между мультипликативными характерами [img: http://localhost:8080/file/010408-45.jpg] и аддитивными характерами [img: http://localhost:8080/file/010408-46.jpg] (ради простоты берется только случай простого модуля р). Множество Fвсех комплекснозначных функций f(x).периода робразует p-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел. Если определить скалярное произведение в F, положив [img: http://localhost:8080/file/010408-47.jpg] то функции [img: http://localhost:8080/file/010408-48.jpg] составят орто-нормированный базис F. При этом [img: http://localhost:8080/file/010408-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-50.jpg] Таким образом, Г. с. [img: http://localhost:8080/file/010408-51.jpg] (с точностью до множителя [img: http://localhost:8080/file/010408-52.jpg]) являются координатами в разложении мультипликативного характера [img: http://localhost:8080/file/010408-53.jpg] по аддитивным характерам [img: http://localhost:8080/file/010408-54.jpg]. Возможность линейного представления любого характера [img: http://localhost:8080/file/010408-55.jpg] в виде линейной комбинации экспонент [img: http://localhost:8080/file/010408-56.jpg], вытекающая из свойств Г. с. общего вида, лежит в основе вывода функционального уравнения для L-функции. Эти же соображения существенно используются в методе большого решета при переходе от оценок сумм от аддитивных характеров к оценкам сумм от мультипликативных характеров. Г. с. применяются также для представления L-функций в виде конечных сумм. Такое представление используется в задаче о числе классов дивизоров кругового ноля. Вопрос о знаке Г. с. [img: http://localhost:8080/file/010408-57.jpg], принадлежащей квадратичному характеру, может быть поставлен в более общем виде для Г. с., принадлежащей характеру [img: http://localhost:8080/file/010408-58.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010408-59.jpg]. Так возникает Куммера гипотеза относительно кубических Г. с. по простому модулю [img: http://localhost:8080/file/010408-60.jpg] (mod 3) и обобщения этой гипотезы на случай k>3.