Гаусса теорема

(theorema egregium): гауссова кривизна (произведение главных кривизн) регулярной поверхности в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010408-61.jpg] не меняется при изгибаниях поверхности. (Здесь регулярность означает [img: http://localhost:8080/file/010408-62.jpg] -гладкое погружение.) Г. т. следует из того, что гауссова кривизна Кповерхности в точке [img: http://localhost:8080/file/010408-63.jpg] может быть выражена через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности [img: http://localhost:8080/file/010408-64.jpg] и их первые и вторые производные в этой точке. Такое выражение для Кназ. уравнением Гаусса, оно допускает разные формы записи (см., напр., [2]). Запись уравнения Гаусса упрощается при специализации координат. Так в изотермич. координатах ([img: http://localhost:8080/file/010408-65.jpg]): [img: http://localhost:8080/file/010408-66.jpg] в полугеодезич. координатах ([img: http://localhost:8080/file/010408-67.jpg]): [img: http://localhost:8080/file/010408-68.jpg] Уравнение Гаусса вместе с Петерсона- Кодацци уравнениями образуют условия интегрируемости системы, к к-рой сводится задача восстановления поверхности по ее первой и второй квадратичным формам. Из Г. т. и Гаусса - Бонне теоремы следует, что отличие суммы углов геодезич. треугольника на регулярной поверхности от л равно ориентированной площади сфе-рич. образа этого треугольника (см. [1]). Г. т. установлена К. Гауссом (С. Gauss) в [1] и является первым и важнейшим результатом в исследовании связей между внутренней и внешней геометриями поверхностей. Для регулярной m-мерной, [img: http://localhost:8080/file/010408-69.jpg], поверхности Fm в римановом пространстве Fm справедливо следующее обобщение Г. т. (см. [3], с. 125; [4], с. 195): [img: http://localhost:8080/file/010408-70.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-71.jpg] кривизны соответственно [img: http://localhost:8080/file/010408-72.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-73.jpg] в двумерном направлении, определяемом касательными к [img: http://localhost:8080/file/010408-74.jpg] в рассматриваемой точке векторами [img: http://localhost:8080/file/010408-75.jpg] - вторая квадратичная форма [img: http://localhost:8080/file/010408-76.jpg] относительно г-й нормали из ортонормированного набора нормалей в этой точке. Из (*) следует, что для гиперповерхности [img: http://localhost:8080/file/010408-77.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010408-78.jpg] все четные элементарные симметрические функции главных кривизн [img: http://localhost:8080/file/010408-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010408-80.jpg] определяются внутренней метрикой [img: http://localhost:8080/file/010408-81.jpg] В четномерном [img: http://localhost:8080/file/010408-82.jpg] гиперповерхность [img: http://localhost:8080/file/010408-83.jpg] однозначно определяется ее внутренней метрикой и кривизной Гаусса - Кронекера: [img: http://localhost:8080/file/010408-84.jpg] при условии, что последняя отлична от нуля (см. [5], с. 288). Для широких классов двумерных нерегулярных поверхностей в [img: http://localhost:8080/file/010408-85.jpg] удается определить "внешнюю кривизну" как борелевскую меру, связанную со сферич. отображением, и "внутреннюю кривизну" как меру, связанную с отличием суммы углов треугольников от я. Обобщение Г. т. состоит в утверждении, что внешняя и внутренняя кривизны совпадают. Такое обобщение Г. т. получено для общих выпуклых поверхностей (см. (6]) и для С 1 -гладких поверхностей ограниченной внешней кривизны (см. [7]).