Гаусса - бонне теорема

полная кривизна [img: http://localhost:8080/file/010408-86.jpg] двумерного компактного риманова многообразия [img: http://localhost:8080/file/010408-87.jpg], замкнутого или с краем, и поворот [img: http://localhost:8080/file/010408-88.jpg] его гладкого края (границы) [img: http://localhost:8080/file/010408-89.jpg] связаны с эйлеровой характеристикой [img: http://localhost:8080/file/010408-90.jpg] многообразия [img: http://localhost:8080/file/010408-91.jpg] соотношением [img: http://localhost:8080/file/010408-92.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010408-93.jpg] где К- гауссова кривизна, a S - площадь; [img: http://localhost:8080/file/010408-94.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-95.jpg] - геодезич. кривизна, а l - длина границы. Г.- В. т. справедлива и для многообразия с кусочно гладкой границей, в этом случае [img: http://localhost:8080/file/010408-96.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-97.jpg] есть поворот границы в угловой точке. В частности, теорема справедлива на регулярных поверхностях в [img: http://localhost:8080/file/010408-98.jpg]. К Г. -Б. т. близко подошел К. Гаусс (см. [1]), в отчетливой форме (для гомеоморфных кругу поверхностей) она опубликована О. Бонне (см. [2]). Для некомпактного полного [img: http://localhost:8080/file/010408-99.jpg] без края аналогом Г. - Б. т. является неравенство Кон-Фоссена (см. [3]): [img: http://localhost:8080/file/010408-100.jpg] Г.- Б. т. и приведенное неравенство верны также для выпуклых поверхностей и двумерных многообразий ограниченной кривизны. Г.- Б. т. обобщается для четномерных компактных римановых многообразий [img: http://localhost:8080/file/010408-101.jpg], замкнутых или с краем: [img: http://localhost:8080/file/010408-102.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-103.jpg] - объемы в [img: http://localhost:8080/file/010408-104.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-105.jpg] - нек-рый полином от компонент тензора кривизны [img: http://localhost:8080/file/010408-106.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010408-107.jpg] - нек-рый полином от компонент тензора кривизны и коэффициентов второй квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/010408-108.jpg] (см. [4]). Г.- Б. т. распространена также на римановы полиэдры [5]. Другие обобщения Г. - Б. т. связаны с интегральными пред-_ ставлениями характеристич. классов через параметры римановой метрики (см. [4], [6], [7]).