Гауссова кривизна

полная кривизна, поверхности - произведение главных кривизн регулярной поверхности в данной точке. Если [img: http://localhost:8080/file/010408-114.jpg] - первая квадратичная форма поверхности и [img: http://localhost:8080/file/010408-115.jpg] - вторая квадратичная форма поверхности, то Г. к. вычисляется по формуле [img: http://localhost:8080/file/010408-116.jpg] Г. к. совпадает с якобианом сферического отображения. [img: http://localhost:8080/file/010408-117.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-118.jpg] - точка на поверхности, s - площадь области U, содержащей [img: http://localhost:8080/file/010408-119.jpg], S - площадь сферич. изображения U, d- диаметр области. Г. к. положительна в эллиптической точке, отрицательна в гиперболической точке и равна нулю в параболической точке и в уплощения точке. Г. к. можно выразить только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные (см. Гаусса теорема). Именно, [img: http://localhost:8080/file/010408-120.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-121.jpg] Так как Г. к. зависит только от метрики, т. е. от коэффициентов первой квадратичной формы, то Г. к.- инвариант изгибания. Г. к. играет особую роль в теории поверхностей; существует много формул для ее вычисления (см., напр., [2]). Г. к. наз. гауссовой кривизной по имени К. Гаусса, к-рый ввел это понятие (см. [1]).