Гауссовский процесс

- действительный случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/010408-127.jpg] любые конечномерные распределения к-рого являются гауссовскими, т. е. характеристич. функции совместных распределений вероятностей случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010408-128.jpg] при любых [img: http://localhost:8080/file/010408-129.jpg] имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/010408-130.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-131.jpg] - математич. ожидание и [img: http://localhost:8080/file/010408-132.jpg] - корреляционная функция. Распределение вероятностей Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010408-133.jpg] полностью задается его математич. ожиданием A(t).и корреляционной функцией [img: http://localhost:8080/file/010408-134.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010408-135.jpg]. Для любой функции A(t).и любой положительно определенной функции [img: http://localhost:8080/file/010408-136.jpg] существует Г. п. X (t), у к-рого среднее значение и корреляционная функция суть именно A(t).и В(t, s). Многомерный случайный процесс свекторными значениями [img: http://localhost:8080/file/010408-137.jpg] наз. гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин [img: http://localhost:8080/file/010408-138.jpg] Комплексным Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010408-139.jpg] наз. случайный процесс вида [img: http://localhost:8080/file/010408-140.jpg] где действительные [img: http://localhost:8080/file/010408-141.jpg] в совокупности образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010408-142.jpg], считают, что выполняется одно дополнительное условие: EX(s)X(t) = A(s)A(t), где A(t)=SX(t). Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно к-рому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010408-143.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-144.jpg] - корреляционная функция процесса [img: http://localhost:8080/file/010408-145.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-146.jpg] Действительный обобщенный случайный процесс [img: http://localhost:8080/file/010408-147.jpg] на линейном пространстве Uназ. обобщенным Г. п., если его характеристич. функционал [img: http://localhost:8080/file/010408-148.jpg] имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010408-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-150.jpg] - математич. ожидание обобщенного процесса [img: http://localhost:8080/file/010408-151.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010408-152.jpg] - его корреляционный функционал. Пусть U - гильбертово пространство со скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010408-153.jpg]. Случайная величина Xсо значениями в пространстве Uназ. гауссовской, если случайный процесс вида [img: http://localhost:8080/file/010408-154.jpg] обобщенный Г. п. Математич. ожидание [img: http://localhost:8080/file/010408-155.jpg] является линейным непрерывным функционалом, а корреляционная функция [img: http://localhost:8080/file/010408-156.jpg] - билинейным непрерывным функционалом на гильбертовом пространстве U, причем [img: http://localhost:8080/file/010408-157.jpg] где положительный оператор В - корреляционный оператор случайной величины [img: http://localhost:8080/file/010408-158.jpg], является ядерным. Для любых таких [img: http://localhost:8080/file/010408-159.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-160.jpg] существует гауссовская величина [img: http://localhost:8080/file/010408-161.jpg] такая, что обобщенный процесс [img: http://localhost:8080/file/010408-162.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010408-163.jpg] имеет средним значением и корреляционной функцией именно [img: http://localhost:8080/file/010408-164.jpg] Пример. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010408-165.jpg] - Г. п. на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010408-166.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010408-167.jpg] и пусть процесс [img: http://localhost:8080/file/010408-168.jpg] измерим, причем [img: http://localhost:8080/file/010408-169.jpg] Тогда почти все траектории [img: http://localhost:8080/file/010408-170.jpg] будут принадлежать пространству интегрируемых в квадрате функций [img: http://localhost:8080/file/010408-171.jpg] на отрезке Тсо скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010408-173.jpg] Формула [img: http://localhost:8080/file/010408-172.jpg] задает обобщенный Г. п. на этом пространстве U. При этом математич. ожидание и корреляционный функционал обобщенного процесса [img: http://localhost:8080/file/010408-174.jpg] выражаются формулами: [img: http://localhost:8080/file/010408-175.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010408-176.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-177.jpg] - соответствующие математич. ожидание и корреляционная функция исходного процесса [img: http://localhost:8080/file/010408-178.jpg] на отрезке [img: http://localhost:8080/file/010408-179.jpg]. Почти все основные свойства Г. п. [img: http://localhost:8080/file/010408-180.jpg] (параметр tпробегает произвольное множество Т).могут быть выражены в геометрич. терминах при рассмотрении этого процесса как кривой в гильбертовом пространстве Нвсех случайных величин [img: http://localhost:8080/file/010408-181.jpg] со скалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/010408-182.jpg] для к-рой [img: http://localhost:8080/file/010408-183.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010408-184.jpg] Ю. А. Розанов. Стационарные в узком смысле Г. п. могут быть реализованы посредством нек-рых динамич. систем (сдвиг в пространстве траекторий, см. [1]). Полученные динамич. системы (их иногда наз. нормальными, сравни с нормальным распределением вероятностей) представляют интерес как примеры динамич. систем с непрерывным спектром, свойства к-рых благодаря упомянутому разложению Нмогут быть изучены с большой полнотой. Так были построены первые конкретные примеры динамич. систем с "неклассическими" спектральными свойствами. Д. В. Аносов.