Геллерстедта задача

- краевая задача для уравнения типа Чаплыгина вида [img: http://localhost:8080/file/010409-38.jpg] в к-ром функция [img: http://localhost:8080/file/010409-39.jpg] возрастает, [img: http://localhost:8080/file/010409-40.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010409-41.jpg]. Искомая функция [img: http://localhost:8080/file/010409-42.jpg] задается на границе, состоящей из достаточно гладкого контура и кусков характеристик. Рассматриваемое уравнение эллиптично в полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/010409-43.jpg], параболично на линии у=0 и гиперболично при [img: http://localhost:8080/file/010409-44.jpg]. Гиперболич. полуплоскость покрывается двумя семействами характеристик, удовлетворяющих уравнениям [img: http://localhost:8080/file/010409-45.jpg]. На линии [img: http://localhost:8080/file/010409-46.jpg] характеристики одного семейства переходят в характеристики другого семейства. [img: http://localhost:8080/file/010409-54.jpg] Пусть Е - односвязна'я область с границей, состоящей из достаточно гладкого контура Г при [img: http://localhost:8080/file/010409-47.jpg] и из кусков характеристик [img: http://localhost:8080/file/010409-48.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010409-49.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010409-50.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/010409-51.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010409-52.jpg] - характеристики одного семейства, а [img: http://localhost:8080/file/010409-53.jpg] - другого (см. рис.). В Есправедлива теорема существования и единственности решений следующих краевых задач: функция [img: http://localhost:8080/file/010409-55.jpg] задается на [img: http://localhost:8080/file/010409-56.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010409-57.jpg] задается на [img: http://localhost:8080/file/010409-58.jpg] Впервые эти задачи были изучены (для К(y)= [img: http://localhost:8080/file/010409-59.jpg]) С. Геллерстедтом [1] методами, развитыми Ф. Трикоми [2] для Трикоми задачи, и представляют собой обобщение последней. Г. з. имеют важные приложения в околозвуковой газовой динамике. Г. з. и родственные им задачи исследовались для нек-рых многосвязных областей и для линейных уравнений, содержащих младшие члены (см. [3]).