Геодезических геометрия

геометрия метрического пространства (G-пространства), к-рое характеризуется единственностью продолжения геодезических линий, определяемых как локально кратчайшие. G-пространство определяется следующей системой аксиом: 1) Gесть метрич. пространство; [img: http://localhost:8080/file/010410-155.jpg] - расстояние в нем. 2) Gконечно компактно, т. е. в G ограниченные бесконечные множества имеют предельные точки. 3) Gвыпукло в смысле Менгера, т. е. для точек [img: http://localhost:8080/file/010410-156.jpg] есть отличная от них точка z такая, что [img: http://localhost:8080/file/010410-157.jpg] 4) Для каждой точки аесть такое [img: http://localhost:8080/file/010410-158.jpg], что в шаре [img: http://localhost:8080/file/010410-159.jpg] для точек [img: http://localhost:8080/file/010410-160.jpg] найдется отличная от них точка [img: http://localhost:8080/file/010410-161.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/010410-162.jpg] (аксиома локального продолжения). 5) Если в аксиоме 4) нашлось две точки [img: http://localhost:8080/file/010410-163.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010410-164.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010410-165.jpg] (аксиома единственности продолжения). В класс G-пространств попадают, в частности, римановы пространства и финслеровы пространства. G-пространства, в к-рых продолжение геодезической возможно в целом и любой участок геодезической остается кратчайшей, наз. прямыми пространствами. К ним относятся, напр., пространства Евклида, Лобачевского, Минковского, любое односвязное риманово пространство неположительной кривизны. В прямом пространстве и в G-пространстве нек-рого специального типа (эллиптическом) геодезическая определяется двумя точками. В общих G-пространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского. Теория G-пространств показала, что многие результаты дифференциальной геометрии не связаны с условиями дифференцируемости. Эта теория углубила изучение финслеревых пространств; позволила исследовать метризации аффинного и проективного пространств, превращающих прямые в геодезические; рассмотреть свободу выбора сети геодезических за счет метризации. Ряд нерешенных вопросов связан с возможным топологич. строением G-пространств (см. [1]).