Гильберта геометрия

- геометрия полного метрич. пространства Нс метрикой [img: http://localhost:8080/file/010414-16.jpg]; к-рое вместе с любыми двумя различными точками хи усодержит точки z и tтакие, что [img: http://localhost:8080/file/010414-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010414-18.jpg] и к-рое гомеоморфно выпуклому множеству n-мерного аффинного пространства [img: http://localhost:8080/file/010414-19.jpg], причем геодезические [img: http://localhost:8080/file/010414-20.jpg] отображаются в прямые An. Напр., пусть К - выпуклое тело пространства [img: http://localhost:8080/file/010414-21.jpg], граница к-рого [img: http://localhost:8080/file/010414-22.jpg] не содержит двух неколлинеарных отрезков, и пусть точки х, [img: http://localhost:8080/file/010414-23.jpg]. расположены на прямой l, пересекающей в точках [img: http://localhost:8080/file/010414-24.jpg] границу [img: http://localhost:8080/file/010414-25.jpg] - двойное отношение точек [img: http://localhost:8080/file/010414-26.jpg] (если [img: http://localhost:8080/file/010414-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010414-28.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010414-29.jpg]). Тогда [img: http://localhost:8080/file/010414-30.jpg] - метрика Г. г. (метрика Гильберта). Если K центрально симметрично, то [img: http://localhost:8080/file/010414-31.jpg] является метрикой Минковского (см. Минковского геометрия), если К - эллипсоид, то [img: http://localhost:8080/file/010414-32.jpg] определяет геометрию Лобачевского. Проблема определения всех метризации К, при к-рых геодезическими являются прямые, составляет содержание 4-й проблемы Гильберта; решена полностью [4]. Обобщением Г. г. является так наз. геометрия геодезических (см. Геодезических геометрия). Г. г. впервые была упомянута Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1894 в письме к Ф. Клейну (F. Klein).